Regelmatige vlakvullingen kom je overal tegen. Lopend op straat herken je in de rangschikking van de stoeptegels verschillende patronen. We zullen hier laten zien hoe je zelf zo'n regelmatige vlakvulling ontwerpen kunt.

Je eigen regelmatige vlakvulling

Anrina Kolkman en Monique Pijls



In Spanje en Portugal zijn de huizen vaak versierd met mooie betegelingen. Dit zijn mozaïeken waar een herhalend patroon in zit. Escher heeft veel van die betegelingen in Zuid-Spanje bestudeerd. Hij heeft ze nagetekend en heeft er variaties op gemaakt met allerlei dieren en figuurtjes.

Bekijk de onderstaande figuur eens. Het is een voorbeeld van een regelmatige vlakvulling. Je ziet dat de paarden zó herhaald worden dat ze elkaar niet overlappen, maar dat ze wel het hele vlak opvullen.

Een regelmatige vlakvulling is een patroon dat ontstaat door een bepaald figuurtje, ook wel `tegel' genoemd, zó te herhalen dat het hele vlak wordt opgevuld zonder dat de tegels elkaar overlappen. Het hele patroon kan door translatie (verschuiving) in twee richtingen zó verplaatst worden, dat het weer op zichzelf terecht komt. Bovendien kan het patroon extra symmetrieën hebben: rotatiesymmetrie (draaiingen) en spiegelingssymmetrie.

OPDRACHT 1.  Neem een vel transparant papier en trek het herhalende deel, de `tegel' over. Let op: we maken geen onderscheid tussen de bruine en witte paarden. [In de kantoorboekhandel is mat transparant papier te koop. Dit heb je straks ook nodig voor je eigen ontwerp.] Hoe kun je de tegel verplaatsen zo dat hij weer op zichzelf terecht komt?

OPDRACHT 2.  Onder de mooie paarden kun je een rooster van veelhoeken (driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken, ...) herkennen waar het hele vlak mee wordt opgevuld. Teken dit onderliggende rooster op een transparant vel.

Een systematische manier om dit onderliggende rooster te vinden is de volgende: Je zoekt de hoekpunten in de tekening, waar verschillende figuren samenkomen. Bij een van die figuren loop je de hele vorm langs op zoek naar andere punten waar meerdere figuren samenkomen. Als je alle punten hebt gevonden, dan kun je die punten met elkaar verbinden door rechte lijnen en dat is dan het onderliggende rooster. Probeer het nog maar eens!

OPDRACHT 3.  Hiernaast zie je verschillende voorbeelden van regelmatige vlakvullingen. Andere voorbeelden vind je in Baarn. In de Escherlaan daar zijn de huizen versierd zijn met tegels met daarop regelmatige vlakvullingen van Eschers hand. Zoek ook hier de tegel. Hoe kun je de tegel verplaatsen zo dat hij weer op zichzelf terecht komt? En wat is het bijbehorende rooster?

OPDRACHT 4.  Er zijn verschillende roosters te gebruiken voor een vlakvulling. We hebben nu verschillende roosters gezien. Bedenk nog meer roosters waar je het vlak mee kunt vullen en teken ze.

Je eigen vlakvulling

Nu ga je je eigen vlakvulling ontwerpen! Omdat het lastig is om zo maar een diertje te tekenen en daar het vlak mee te vullen, zullen we in vier stappen aangeven hoe je te werk kunt gaan. We geven ook twee voorbeelden. Voorbeeld A is het gemakkelijkst, voorbeeld B is wat moeilijker. Zelf kun je met andere variaties aan de slag.

STAP 1. KIES EEN ROOSTER.  Teken op een vel ruitjespapier een puntrooster. Dit is een rooster waarvan je alleen de hoekpunten tekent. Je kunt kiezen uit: parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant, gelijkzijdige driehoek, regelmatige zeshoek. Neem dit puntrooster met potlood over op een vel transparantpapier. Op dit transparantpapier komt straks de tekening van je eigen vlakvulling. We noemen dit vel 1.

driehoeksrooster
Voorbeeld B
parallellogramrooster
Voorbeeld A
Rechts zie je twee voorbeelden van puntroosters.
Voorbeeld A is een parallellogramrooster. Voorbeeld B is een rooster van gelijkzijdige driehoeken.

driehoeksrooster vierkantsrooster

Je kunt ook andere roosters gebruiken: vierkantroosters, rechthoekroosters, etcetera. Om met deze roosters te werken is het handig om ruitjespapier te gebruiken, of papier met een rooster van gelijkzijdige driehoeken. Dat kun je ook in een goed gesorteerde kantoorboekhandel kopen, het heet isometrisch papier.

STAP 2. MAAK EEN TEGEL.  Hiervoor gebruiken we nog een transparant papier (vel 2) waarop je de hoekunten van één veelhoek uit het rooster tekent.

De tegel uit voorbeeld A: parallellogramtegel


De tegel uit voorbeeld B: driehoekstegel

Maak nu op het ruitjespapier een variatie op één van de `zijden' in het puntrooster. Neem de variatie over op het transparantpapier.

Kies uit de volgende bewerkingen:

(a) Translatie. Te gebruiken bij alle roosters behalve de gelijkzijdige driehoek.

Voorbeeld A:

(b) Rotatie om hoekpunten. Te gebruiken bij bijv. de volgende roosters: driehoeken, vierkanten of zeshoeken.

Voorbeeld B:

(c) Rotatie om middens van zijden. Hiervoor maak je een variatie op een halve zijde en die roteer je over 180 graden om het midden van een zijde. Te gebruiken bij de volgende roosters: driehoeken.

Voorbeeld B:

(d) Spiegeling. Te gebruiken bij bijvoorbeeld: vierkant, ruit, rechthoek of zeshoeken.

(e) Glijspiegeling. Dit is een samenstelling van een spiegeling en een translatie evenwijdig aan de spiegelas. Te gebruiken bij bijv. de volgende roosters: parallellogram, vierkant, ruit, rechthoek.

Pas ook een variatie toe op een andere zijde van je puntrooster. Nu is je tegel af.

Voorbeeld A:

Voorbeeld B:

STAP 3. MAAK DE VLAKVULLING.  Vul het vlak op met de tegel door deze over te nemen op het vel 1, zo dat het hele vlak wordt opgevuld.

Voorbeeld A:

Voorbeeld B:

STAP 4. JE EIGEN `ESCHER'.  Herken je in je krabbels een dier of een figuur? Werk dit dan verder uit bijvoorbeeld door ogen of handen te tekenen. Kleur je figuur in.

Je eigen vlakvulling is nu voltooid. We hebben twee voorbeelden gegeven, maar je kunt zelf andere soorten regelmatige betegelingen krijgen door de genoemde bewerkingen op verschillende puntroosters uit te proberen.

Het bovenstaande is slechts één van de vele manieren om een vlakvulling te maken. Misschien verzin je zelf wel een eigen methode. Veel succes!


Eindpatroon voorbeeld A (translatie)



Eindpatroon voorbeeld B (driehoeksrooster)

Verder lezen

Wil je meer weten? Op de Escherpagina op de homepage van Pythagoras vind je veel meer informatie over betegelingen. Verder bevelen we de volgende boeken aan:
  1. Frits Göbel, Tegels leggen, en dergelijke, Vierkant Doe-boekje nr. 2 (f 10,-).
  2. Jill Britton, Dale Seymour, Introduction to Tessellations, Dale Seymour Publications, 1989. Geschreven voor leraren.
  3. Doris Schattschneider, M.C. Escher, Visions of Symmetry, Freeman, New York, 1990 (± f 80,-). Een schitterend boek over Escher's studie van regelmatige vlakverdelingen.
  4. Grünbaum, Shepard, Tilings and patterns, Freeman, New York, 1987 (± f 190,-). Een complete wiskundige studie van het onderwerp, maar met heel veel plaatjes.

Over deze tekst

drs. M.H.J. Pijls is lerares wiskunde aan het Lyceum Sancta Maria te Haarlem
drs. A.H.W. Kolkman is lerares wiskunde aan de Oec. Scholengemeenschap Het Baken te Almere

Deze tekst is gepubliceerd in Pythagoras nr. 4, april 1998, © Pythagoras 1998.
Alle werken M.C. Escher © 1998 Cordon Art, Baarn, Holland

home up