Pythagoras december 2001

De Griek uit de oudheid, die in de wiskunde een zeer bijzondere plaats inneemt en waarnaar dit tijdschrift is vernoemd, is Pythagoras van Samos, doorgaans gewoon Pythagoras genoemd. Samos is een Grieks eiland gelegen in het oostelijk deel van de Egeïsche Zee. Een zee-engte van nog geen anderhalve kilometer scheidt het eiland van Turkije. Pythagoras leefde ongeveer 550 voor Christus. Hij werd geboren in een plaats die tegenwoordig Pythagorion wordt genoemd en die gelegen is aan de zuidoostkust van het eiland. De schrijver van dit artikel heeft deze plaats bezocht en een foto gemaakt van het standbeeld, dat ter ere van Pythagoras op een der havenpieren is opgericht. Aan de voorzijde van de sokkel staat in Griekse hoofdletters zijn naam gegraveerd en daaronder is in de ons vertrouwde Arabische cijfers het tijdperk aangegeven waarin hij geleefd zou moeten hebben, namelijk van 580 tot 496.

Een wijs man

Pythagoras was niet onvermogend en kon daarom als ondernemende en weetgierige jongeman verre reizen maken door het Midden-Oosten teneinde oosterse wijsheid en kennis op te doen. Pythagoras moet toen ook het gebruik van de tulband geleerd hebben, een praktische hoofdbedekking voor de met zon overgoten gebieden. Het is niet ondenkbaar dat hij, na terugkeer in zijn moederland, deze hoofdbedekking bleef dragen. De in Griekenland gevonden sculptuur uit de periode 500-400 voor Christus, bekend als 'Man met tulband', zou mogelijk een afbeelding van hem kunnen zijn, maar de noodzakelijke gegevens voor het bewijs ontbreken.

Figuur 4

Figuur 5

Pythagoras verbleef tijdens zijn verre reizen onder andere lange tijd in Egypte. Daar zag hij bij het maken van de bouwwerken de `touwspanners' op de bouwterreinen bezig rechte hoeken te construeren. Een zeer lang stuk touw, waarin twaalf knopen op gelijke onderlinge afstanden waren aangebracht, zie figuur 4, werden door bepaalde priesters na het spannen van het touw bij de knopen B en C aan de grond gepend. Vervolgens werden de stukken BA en CA' zodanig gespannen, dat de knopen A en A' samenvielen, zie figuur 5. In dit punt A = A' werd dan een derde pen in de grond geslagen. De hoek tegenover de langste zijde is dan recht, omdat de verhouding van de afstanden tussen de drie pennen 3 : 4 : 5 is. Deze werkwijze is een praktische toepassing van de omgekeerde stelling van Pythagoras die zegt, dat als bij een driehoek het kwadraat van één der zijden gelijk is aan de som der kwadraten van de andere twee, de hoek tegenover die zijde recht is. Inderdaad is in ons geval 3² + 4² = 5². Een driehoek met zijden waarvan de lengten zich verhouden als 3 : 4 : 5 wordt daarom soms ook wel de Egyptische driehoek genoemd. Men kent ook de Indische driehoek: hierbij verhouden de lengten van de zijden zich als 5 : 12 : 13. De hoek tegenover de langste zijde is recht wegens 5² + 12² = 13². Elke driehoek, waarvan de zijden a, b en c zich verhouden als gehele getallen en voldoen aan de betrekking a² + b² = c², heet een pythagoreïsche driehoek en elk drietal positieve gehele getallen, dat aan die betrekking voldoet, een pythagoreïsch drietal. De drietallen 3, 4, 5 en 5, 12, 13 zijn daar voorbeelden van.

Teruggekomen richtte Pythagoras een 'school' op teneinde zijn verkregen kennis aan anderen over te dragen en uit te breiden. Zijn leerlingen of volgelingen vormden een hechte, wijsgerig ingestelde, religieuze broederschap en werden de pythagoreërs genoemd. De school was gevestigd in Krotoon, het tegenwoordige Crotona, gelegen aan de Zuid-Italiaanse kust, maar na verloop van tijd breidde de orde der pythagoreërs zich uit over andere steden.

De pythagoreërs beoefenden de getallenleer op een min of meer metafysische wijze. Bij hen was alles getal, dat wil zeggen: de wereld was volgens natuurlijke getallen geordend. Muziek, harmonie en getallen behoorden volgens de leer der pythagore\"ers onverbrekelijk bij elkaar. Voor Pythagoras was de wereld één heerlijk kunstwerk en hij was de eerste die voor de wereld het woord 'kosmos' gebruikte, hetgeen in het toenmalige Grieks 'sieraad' of 'kunstwerk' betekent. Een groot aantal leden leefde volgens strenge regels, was vegetari\"er en geloofde in de zielsverhuizing na de dood. De leringen waren grotendeels geheim en niemand mocht iets daarvan op schrift stellen. Aspirantleden moesten langdurig zwijgen en mochten niet alles van de kennis der ingewijden weten. Het gezag van Pythagoras was absoluut. De uitspraak 'Hijzelf heeft 't gezegd' sloot binnen de orde elke verdere discussie uit.

Volmaakt, bevriend en heilig

De pythagoreërs erkenden alleen de gehele positieve getallen (de natuurlijke getallen), alsmede de breuken die daarvan zijn afgeleid. Zij kenden zogeheten 'volmaakte' of 'perfecte' getallen. Een getal heet volmaakt als het gelijk is aan de som van zijn echte delers (dus uitgezonderd het getal zelf). Zo is bijvoorbeeld 6 een volmaakt getal, omdat de som van de echte delers (1, 2 en 3) gelijk is aan 6. Een ander voorbeeld van een volmaakt getal is 28, want 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Zij kenden ook 'bevriende' getallen. Dat zijn twee verschillende getallen waarvan het ene gelijk is aan de som van de echte delers van het andere, en omgekeerd. Bevriende getallen zijn bijvoorbeeld 220 en 284, want de som van de echte delers van 220 is 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, en die van 284 is 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Naast de volmaakte en bevriende getallen bestonden in de gedachtensfeer der pythagoreërs ook 'heilige' getallen. Het getal 10 was een hoogst heilig getal, het symbool van alle harmonie, dat zij 'tetraktys' noemden. Als men elkaar de hand geeft ten teken van vriendschap en trouw, zijn daar 10 vingers bij betrokken. Tijdens de gemeenschappelijke maaltijden zaten de pythagoreërs met z'n tienen aan elke tafel, en elk lid van de orde moest zich 10 jaar lang bezinnen op de tradities en het nakomen van de bestaande wetten binnen de orde, et cetera. Ook rekenkundig vonden zij het getal 10 diepzinnig, omdat het getal 10 verkregen kon worden door optelling van de vier eenvoudigste getallen: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Zij kenden aan de muziek hoge waarde toe en ontdekten, dat de hoofdintervallen bestonden uit verhoudingen, die waren opgebouwd uit de vier eenvoudigste getallen: het octaaf (1 : 2), de kwint (2 : 3) en de kwart (3 : 4). Kortom, het getal 10 was heilig en zelfs heiliger dan de eed der pythagoreërs zelve.

Een ander uitermate heilig getal was 36, vermoedelijk wegens zijn bijna verbluffende rekenkundige eigenschappen: 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. Het aantal termen bedraagt hier het dubbele van het aantal begingetallen waaruit het heilige getal 10 als som is opgebouwd! Verder is 36 = (1 + 2 + 3)², 36 = (1 × 2 × 3)², 36 = 1³ + 2³ + 3³ en 36 = 6 × 6: het kwadraat van het kleinste volmaakte getal! Ook geldt 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 en dat is de som van de eerste 6 (weer een volmaakt getal!) oneven getallen.

Ook de vinger naast de pink van de rechterhand was een heel bijzondere. Die vinger is immers de vierde van de rechterhand en de negende van beide handen, en 4 × 9 = 36. Aan die vinger dient dan ook het symbool van innige verbondenheid, de ring, gedragen te worden. De rechthoekige Poseidontempel, die in Paestum nabij het hoofdkwartier Crotona is gebouwd, heeft aan elke korte zijde 6 en aan elke lange zijde 14 zuilen, dus in totaal 2 × 6 + 2 × 14 - 4 = 36 zuilen, en dat aantal heeft kennelijk met de heiligheid van het getal 36 te maken. Worden de heilige getallen 10 en 36 met elkaar vermenigvuldigd, dan krijgt men 360 en dat is juist het aantal graden van de hoek, die het hele platte vlak omvat. De pythagoreërs kenden voor het getal 36 nog meer merkwaardige eigenschappen, maar we zullen het bij de hier genoemde laten.

De stelling van Pythagoras

De beroemde stelling van Pythagoras was reeds 2000 jaar voor Christus bij de Babyloniërs bekend. Deze luidt: de oppervlakte van het vierkant beschreven op de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som der oppervlakten van de vierkanten beschreven op de andere zijden. In figuur 6 is dus volgens deze stelling P + Q = R.

Figuur 6: De stelling van Pythagoras: P+Q=R

In het eerste van de dertien boeken van de Elementen van de grote Griekse didacticus en wiskundige Eukleides (circa 300 voor Christus), doorgaans aangeduid met de gelatiniseerde naam Euclides, vindt men het oudst bekende bewijs, zie het artikel Het muizenvalbewijs van Euclides in de Pythagoras van december 2001. Het bewijs van Euclides berust, zoals de meeste andere oude bewijzen, op het vergelijken van oppervlakten.

Er zijn in de loop des tijds tientallen bewijzen van de stelling van Pythagoras gepubliceerd. Natuurlijk mogen daarbij geen stellingen gebruikt worden die zelf met behulp van de stelling van Pythagoras zijn afgeleid. Het originele bewijs van de bekende Nederlander Multatuli, alias Eduard Douwes Dekker (1820-1887), is echter bij weinigen bekend. Daarom hier zijn bewijsvoering. Multatuli vulde de basisfiguur aan met rechthoekige driehoeken die congruent zijn met de gegeven rechthoekige driehoek en dus alle de oppervlakte \beta van de gegeven rechthoekige driehoek bezitten, zie figuur 7. Er ontstaan dan twee congruente vierkanten die elkaar gedeeltelijk overlappen. De oppervlakte van elk der beide vierkanten is gelijk, dus P + Q + 4b = R + 4b, waaruit onmiddellijk volgt dat P + Q = R.

Figuur 7: Een bewijs van Multatuli

Variaties

Maar er is meer. Als wij van de vierkanten de zijden loodrecht op die van de driehoek met een zekere factor p (niet 1) vermenigvuldigen, ontstaan op de zijden van de driehoek gelijkvormige rechthoeken waarvoor óók geldt P + Q = R, want uit a² + b² = c² volgt dat a · pa + b · pb = c · pc. In figuur 8 (links) is p = 2/3. Als wij uit de rechte hoek van de rechthoekige driehoek de hoogtelijn trekken op de hypotenusa, ontstaan twee driehoekjes die gelijkvormig zijn met de gegeven driehoek, zie figuur 8 (midden). Spiegelen we de gegeven driehoek ten opzichte van de hypotenusa en de twee gelijkvormige driehoekjes ten opzichte van de rechthoekszijden, dan ziet men onmiddellijk in dat ook hier geldt P + Q = R. Voor drie halve cirkels met middellijnen de hypotenusa en de rechthoekszijden geldt eveneens P + Q = R. Wij hebben daartoe slechts de betrekking a² + b² = c² met 1/8 · p te vermenigvuldigen om dit in te zien, zie figuur 8 (rechts). De stelling van Pythagoras is blijkbaar uit te breiden tot de volgende: worden op de hypotenusa en de rechthoekszijden gelijkvormige oppervlaktefiguren beschreven, dan geldt P + Q = R. Het algemene bewijs laten we achterwege.

Figuur 8: Links zijn gelijkvormige rechthoeken op de drie zijden van de rechthoekige driehoek geplaatst, in het midden gelijkvormige driehoeken, en rechts halve cirkels. Ook in al deze gevallen geldt P+Q=R.

Verdrinkingsdood

De beoefening van de meetkunde was bij de pythagoreërs uitermate stiefmoederlijk bedeeld. Er ontstonden problemen met de irrationale wortels. Als van een rechthoekige driehoek de rechthoekszijden bijvoorbeeld 1 zijn, dan is de hypotenusa de wortel uit 2 en dat is een irrationaal getal (een irrationaal getal is een reëel getal dat niet als breuk kan worden geschreven). Het verhaal wil dat kort na de dood van Pythagoras een zekere leerling, Hippasos (gelatiniseerd Hippasus) geheten, na ampele overwegingen tot de conclusie kwam, dat de wortel uit 2 geen breuk kon zijn en derhalve een ander soort getal was dan de tot dan toe bekende getallen. Deze bewering en andere revolutionaire ideeën van Hippasus druisten zo zeer in tegen de heersende opvattingen en diepste gevoelens van de pythagoreërs, dat hij wegens heiligschennis als straf tot de verdrinkingsdood werd veroordeeld. Misschien had hij zijn leven nog kunnen redden als hij had kunnen aantonen dat de wortel uit 2 te schrijven is als een gedurige breuk (kettingbreuk), namelijk:

Waarom 'de stelling van Pythagoras'?

Pythagoras zelf heeft zijn kennis van wetenschappelijke aard nooit opgeschreven, zodat vrijwel niets bekend is over zijn bijdrage tot de wetenschap in het algemeen en die tot de wiskunde in het bijzonder. De eerste pythagoreërs stelden ook niets op schrift. De hier vermelde rekenkundige eigenschappen ontlenen we dan ook aan de latere pythagoreërs die wel hun kennis buiten de orde mochten uitdragen, en aan Euclides die hun getallenleer in enige boeken van zijn Elementen heeft opgenomen. Maar waarom dan wordt de stelling van Pythagoras hem toegeschreven en is die stelling te zijner ere genoemd? Heeft hij die stelling herontdekt? Heeft hij die stelling aan zijn volgelingen bekend gemaakt? Heeft hij die stelling (voor het eerst) bewezen? Heeft hij die stelling uitgebreid? Op al deze vragen kan geen antwoord gegeven worden. Toch schijnt niemand er bezwaar tegen te hebben deze beroemde stelling naar Pythagoras te noemen.

De auteur is in augustus 2001 overleden.