Pythagoras februari 2002

In de figuur hiernaast zie je een voorbeeld van een vlakvulling die een kleine dertig jaar geleden bedacht is door de Britse wiskundige en theoretisch fysicus Roger Penrose. Zulke vlakvullingen heten sindsdien Penrose tilings, ofwel Penrose-betegelingen. Ze kunnen verschillende gedaanten aannemen, afhankelijk van de vorm van de tegels die gebruikt worden en de patronen die erop getekend zijn. In figuur 1 bestaan die patronen uit donkere banden en witte cirkeltjes, maar de tegels zelf zijn ruiten: dikke ruiten met hoeken van 72 en 108 graden en dunne ruiten met hoeken van 36 en 144 graden.

Literatuur over Penrose-betegelingen

Het artikel waarin Penrose zijn ontdekkingen wereldkundig maakte, is:
R. Penrose, Pentaplexity -- A Class of Non-periodic Tilings of the Plane, The Mathematical Intelligencer 2(1979), 32-37.

Een artikel in het Nederlands is:
N.G. de Bruijn, Vloerbedekking met tegels van Penrose, Nieuwe Wiskrant, 10(4), 1991, 32-37.
Let echter op: door onachtzaamheid van de redactie van dat tijdschrift zijn de pijlen in figuur 3 niet goed getekend. De juiste pijlrichtingen kun je uit onze figuur 3 afleiden (zie het artikel in Pythagoras, februari 2002).

Bij het 'grote publiek' zijn Penrose-betegelingen vooral bekend geworden door twee artikelen die Martin Gardner erover geschreven heeft in het tijdschrift Scientific American. Ze zijn herdrukt in zijn boek:
Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W.H. Freeman and Company, New York, 1989, ISBN 0-7167-1987-8.
In deze artikelen wordt vooral gewerkt met tegels in de vorm van vliegers en pijlen (kites and darts, zoals Penrose ze noemde.)

De volgende twee boeken vragen veel meer wiskundige voorkennis, maar ze bevatten wel prachtige, inspirerende illustraties:

Marjorie Senechal, Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-57541-9.

Branko Grünbaum & G.C. Shephard, Tilings en Patterns, W.H. Freeman and Company, New York, 1987, ISBN 0-7167-1193-1.
Hoofdstuk 10 van dat boek gaat helemaal over niet-periodieke betegelingen.

Zelf uitproberen

Om zelf met Penrose-tegels te experimenteren, kun je de onderstaande patronen kopiëren op dik papier of karton en vervolgens de tegels uitknippen. Ze zijn er in twee formaten, zodat hopelijk iedereen er minstens een kan openen:

• eps-file (4 kb)
• jpg-file (165 kb)