Pythagoras juni 2002

Je kent het 24-spel waarschijnlijk van de flippo's uit de zakken van Smiths chips. Je krijgt vier van de getallen 1 tot en met 9, en met de bewerkingen +, -, × en : moet je 24 maken. Het 24-spel wordt tegenwoordig veel gebruikt in het rekenonderwijs. Eigenlijk zijn er drie versies van het spel, afhankelijk van hoe je de berekening mag uitvoeren.

Versie 1. Je moet meteen doorrekenen met het getal dat je al gemaakt hebt. Neem bijvoorbeeld 1129; als je doet 9-1=8, dan moet je daarna meteen verder met 8. Je mag dan niet eerst 1+2=3 doen. Op deze manier kun je met het viertal 1129 geen 24 maken. De berekening in versie 1 hebben altijd de vorm ((a * b)* c) * d, waar elke * staat voor +, -, × of :. Deze versie wordt veel gebruikt op de basisschool.
Versie 2. Het tussenresultaat van de eerste bewerking hoeft niet meteen gebruikt te worden. Hiervan is (9-1)×(2+1) een voorbeeld. We eisen wel dat alle tussenresultaten gehele getallen zijn. Bij de oplossing (9-1)×(2+1) voor 1129 is dat het geval. Voor bijvoorbeeld 3377 is er echter niet zo'n oplossing.
Versie 3. Ook de laatstgenoemde beperking -- de tussenresultaten zijn gehele getallen -- vervalt. Dan is er voor 3377 ook een oplossing. Welke?

Ik heb een spelletje geschreven, genaamd Flippo, dat gebaseerd is op de tweede versie van het 24-spel. Later heb ik nog een versie geschreven, die voldoet aan de derde beschrijving. Dit spel doopte ik Flipplus. Er wordt een viertal getallen gekozen. De bedoeling is om binnen twee minuten de oplossing te vinden. De opgaven variëren in moeilijkheidsgraad van zéér eenvoudig tot heel moeilijk. Daarnaast is er een speciale docentenversie, die kan worden gebruikt om geschikte opgaven voor de leerlingen te selecteren. Mochten de leerlingen na een tijd alle mogelijke sommen een keer gezien hebben (het zijn er 404, zie daarvoor 'De post' in Pythagoras van oktober 2001), dan kan eenvoudig een ander resultaat, of andere startwaarden worden gekozen. In dit artikel wil ik uitleggen wat er kwam kijken bij het schrijven van Flippo. Daarna geef ik enkele tips voor het oplossen van 24-spelopgaven. Ik eindig met een reeks opgaven van verschillende zwaarte. Meer opgaven staan op mijn homepage www.coster.demon.nl, waar ook Flippo te vinden is.

De vorm van de berekening

Hoe kom je er met de computer achter of vier getallen samen 24 kunnen opleveren? Het idee is simpel: laat de computer alle mogelijke berekeningen van +, -, × of : met die vier getallen in alle mogelijke volgorden uitproberen. Welke mogelijke berekeningen zijn er allemaal? Ten eerste heb je te maken met de vorm van de berekening. Met een viertal abcd kun je namelijk op verschillende manieren te werk gaan. Je kunt 'doorrekenen' zoals in versie 1. Je kunt ook eerst a en b nemen, dan c en d, en tenslotte de beide resultaten. De berekening heeft dan de vorm (a * b) * (c * d). In totaal zijn er vijf verschillende vormen mogelijk:

• ((a * b) * c) * d, bijvoorbeeld ((7 + 1) - 4) × 6 = 24,
• (a * (b * c)) * d, bijvoorbeeld (6 : (8 - 6)) × 8 = 24,
• (a * b) * (c * d), bijvoorbeeld (5 + 7) × (9 - 7) = 24,
• a * ((b * c) * d), bijvoorbeeld 6 × ((7 + 1) - 4) = 24,
• a * (b * (c * d)), bijvoorbeeld 6 : (1 - (3 : 4)) = 24.

Hoeveel formules zijn er?

In principe kan voor elke * elk van de vier bewerkingen worden ingevuld. Elke vorm levert dus 4 × 4 × 4 = 64 formules op. Met de vijf vormen en de vier bewerkingen kunnen we dus in totaal 320 formules maken. Maar veel formules worden dan dubbel geteld, want bij bepaalde bewerkingen geven verschillende vormen hetzelfde resultaat. Gebruik je bijvoorbeeld alleen maar de bewerking +, dan doet de volgorde er helemaal niet toe: ((4 + 5) + 7) + 8 = (4 +(5 + 7)) + 8 = (4 + 5) + (7 + 8) = 4 + ((5 + 7) + 8) = 4 + (5 +(7 + 8))= 24. Ook zijn er heel wat onzinnige formules bij. Wat te denken van ((a - b) - c) - d of ((a : b) : c) : d. Het zal wel duidelijk zijn dat met deze formules en als beginwaarde een van de getallen 1 tot en met 9 nooit als resultaat 24 behaald kan worden.

In figuur 1 staat een lijst van alle mogelijke formules. Van formules die altijd hetzelfde antwoord geven -- zoals (a+b)-(c+d) en ((a+b)-c)-d -- heb ik er steeds maar een in de lijst opgenomen. Ook onzinnige formules zijn achterwege gelaten. Zo kom je op een lijst van 45 formules. Op de website van Pythagoras staat een lijst van alle formules waarmee je 1 kunt maken. Die lijst bestaat uit 93 formules.

Hoe nu verder?

Als we voor een viertal abcd willen testen of je 24 kunt krijgen, dan zul je alle bovengenoemde 45 formules moeten aflopen. Bovendien moet je alle mogelijke volgordes van abcd proberen. Voor 6666 is dat eenvoudig, maar voor 1289 zijn dat 4 × 3 × 2 × 1 = 24 volgordes. In dit laatste geval moeten er 24 × 45 = 1080 mogelijkheden worden nagegaan en steeds worden gekeken of het resultaat op 24 uitkomt. De computer telt het aantal formules dat bij een zekere combinatie van de vier getallen tot het eindresultaat 24 leidt. (Dus ((3+4)+8)+9 en ((4+3)+8)+9 tellen slechts eenmaal mee.) Op grond van het aantal gevonden formules wordt de volgende indeling gemaakt:

Aantal formules	Soort opgave
9 of meer	zéér eenvoudig
6, 7 of 8	eenvoudig
4 of 5	gaat wel
2 of 3	lastig
1	heel lastig

Nuttige tips

Om je op weg te helpen, volgen hier enkele tips bij het maken van een 24-spelopgave.
Werk van achter naar voor
Het getal 24 heeft een hele hoop delers: 2, 3, 4, 6 en 8. Als één van de vier getallen, zeg a, waarmee je 24 moet maken een deler van 24 is, probeer dan met de drie overige getallen 24/a te maken. Lukt dit niet? Tel bij 24 één van de vier getallen op en probeer vervolgens met de resterende drie getallen deze som te maken. (Of trek van 24 één van de vier getallen af.)
Neem twee getallen samen
Ga alle mogelijkheden van twee getallen langs. Tel deze getallen op, of neem het verschil. Is het een deler van 24? Probeer dan met de resterende twee getallen het getal te maken dat vermenigvuldigd met het voorafgaande getal 24 oplevert.

Opgaven

1. Leef je uit op het 24-spel met de volgende viertallen:

gaat wel	lastig	heel lastig
2339	2255	1168
3499	4555	1479
3666	1227	1799
1267	2447	1668
4667	4778	3388

2. Probeer ook het 30-spel met de volgende viertallen:

gaat wel	lastig	heel lastig
1237	2288	5599
2669	5789	6899
3349	1589	7789
1479	2267	4488
2689	5689	2477

Het 120-spel

Stel je nu eens voor dat je vijf getallen krijgt voorgeschoteld en de opdracht krijgt om met de bewerkingen +, -, × en : 120 te realiseren. Allereerst moeten we weten hoeveel formule-types er zijn voor vijf getallen en vier operaties. Ga na dat dit er 14 zijn.

De volgende stap is om de verschillende operatie-keuzes op te sommen. Er zijn circa 600 verschillende formules! Vijf verschillende getallen kunnen op 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 manieren tussen de operaties worden geplaatst. Kortom, er zijn heel veel mogelijkheden.

Opgaven

3. Kies vijf van de getallen 1 tot en met 9 en probeer met behulp van de operaties +, -, × en : het resultaat 120 te verkrijgen.

4. (Moeilijk!) Probeer met het vijftal 47778 en de operaties +, -, × en : het resultaat 120 te verkrijgen.

Links

• Flippotabel
• Homepage Matthijs Coster (met de programma's Flippo en Flipplus)