Pythagoras februari 2003

De eerste ronde

Op veel plaatjes van analoge klokken staan de wijzers zo afgebeeld dat het bijna tien over tien is. Preciezer gezegd: de wijzers staan dan zo dat ze elkaars spiegelbeeld zijn in de verticale lijn door de 12 en de 6. Bepaal voor deze situatie de exacte grootte van de hoek tussen de twee wijzers.

Dit was opgave B3 van de eerste ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade 2002. Van de ruim 1800 scholieren die aan deze ronde meegedaan hebben, wist slechts 6 procent het goede antwoord te vinden, en daarmee was deze opgave de op één na moeilijkste som van deze ronde.

Voor de negen sommen van de eerste ronde kon je in totaal een maximum van 22 punten behalen, maar niemand scoorde meer dan 20 punten. De scholenprijs, bestemd voor de school met de hoogste totaalscore van de beste vijf leerlingen, ging naar het Stedelijk Gymnasium in Breda met een totaalscore van 80 punten.

De tweede ronde

Leerlingen met een score van 12 punten of meer werden uitgenodigd voor de tweede ronde, die op 13 september 2002 aan de TU Eindhoven gehouden is, en waaraan 101 scholieren hebben meegedaan. Die ronde bestond uit vijf opgaven, elk met een maximumscore van 10 punten. Daarvoor was drie uur beschikbaar, en bij een gelijke score gaf het puntenaantal uit de eerste ronde de doorslag in de eindrangschikking.

De prijswinnaars

Hier is een lijstje van de tien prijswinnaars met hun score voor de tweede ronde en tussen haakjes hun puntenaantal bij de eerste ronde. De prijsuitreiking vond plaats op 15 november 2002.

Emil Bode, Doetinchem	49 (13)
Iris Smit, Amsterdam	42 (19)
Berry Lijklema, Nijmegen	38 (17)
Wouter Willems, Paterswolde	38 (14)
Meilof Veeningen, Hardegarijp	37 (16)
Maaike Anna Blok, Amsterdam	36 (16)
Martijn Mink, Geldrop	35 (13)
Willem Cleven, Chaam	34 (17)
Jorik Mandemaker, Schijndel	32 (20)
Esther Bod, Malden	32 (16)

Uit de prijswinnaars wordt na een intensieve training een team van zes scholieren samengesteld dat Nederland gaat vertegenwoordigen bij de Internationale Wiskunde Olympiade die van de zomer in Japan zal worden gehouden.

De opgaven

Onder aan pagina vind je de opgaven van de tweede ronde, zodat je er zelf ook eens je krachten op kunt beproeven. Als je het echt zo wilt doen als de deelnemers, moet je hier stoppen met lezen. We geven hieronder bij elke som namelijk een korte beschrijving die tegelijkertijd hints bevat voor de oplossing.

Opgave 1. Dit soort spiegelopgaven los je meestal op door de baan van de lichtstraal 'recht te trekken'. Gebruik ruitjespapier, waarbij je voor elke keer dat de lichtstraal een zijde treft, niet de lichtstraal, maar het vierkant spiegelt.
Opgave 2. Bedenk dat x niet al te groot kan zijn! Wat zijn de mogelijkheden voor x?
Opgave 3. Als de omtrek oneven zou zijn, zouden er precies 1 of precies 3 zijden een oneven lengte hebben. Gebruik verder de stelling van Pythagoras.
Opgave 4. Zet eerst de paren als paar om de tafel. Op hoeveel manieren kan dat?
Opgave 5. Hier moet je wel wat uit de kast halen! Maak eerst een tekening. Teken de bissectrice van hoek A. Denk aan de sinusregel, aan dubbele-hoekformules, misschien zelfs aan de bissectricestelling!

De volledige oplossingen, en nog meer informatie over de Wiskunde Olympiade, kun je vinden op de website http://olympiads.win.tue.nl/nwo/

Nederlandse Wiskunde Olympiade 2002 Opgaven tweede ronde

1. De zijden van een vierkant ABCD van 10 bij 10 zijn aan de binnenkant spiegelend. Een lichtstraal komt het vierkant binnen via het hoekpunt A en koerst naar het punt P op CD met CP=3 en PD=7. In P spiegelt het natuurlijk aan de zijde CD. De lichtstraal kan het vierkant alleen via een van de hoekpunten A, B, C of D verlaten. Wat is de afstand die de lichtstraal binnen het vierkant aflegt voordat hij het vierkant weer verlaat? Door welk hoekpunt gebeurt dat?
2. Bepaal alle drietallen (x,y,z) van positieve gehele getallen met z > y > x die voldoen aan (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z)=3.
3. A, B en C zijn punten in het vlak met gehele coordinaten. De lengtes van de zijden van driehoek ABC zijn geheel. Bewijs dat de omtrek van de driehoek een even getal is.
4. Vijf paren stripfiguren, Donald en Katrien Duck, Asterix en Obelix, Suske en Wiske, Tom en Jerry, Heer Bommel en Tom Poes, gaan om een ronde tafel zitten met 10 stoelen. Van elk paar zorgen de twee leden er voor dat ze naast elkaar komen te zitten. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de tien stoelen bezet zijn? Twee manieren zijn verschillend als ze niet door een draaiing in elkaar overgevoerd kunnen worden.
5. In driehoek ABC is hoek A tweemaal zo groot als hoek B. AB = 3 en AC = 2. Bereken BC.