Pythagoras juni 2003

De kubus is een ruimtevuller, omdat je met louter kubusvormige bouwstenen de ruimte geheel zou kunnen vullen. Wiskundigen en kristallografen hebben in de loop van de tijd ook andere ruimtevullers gevonden, maar vooralsnog ontbreekt het overzicht van wat alle elementaire mogelijkheden zijn. In dit artikel beschrijft Frans Snik twee verrassende ruimtevullers, TTS en QTS geheten, die Russell Towle en hijzelf onafhankelijk van elkaar onlangs ontdekt hebben.

De regelmatige vlakvullingen van de Nederlandse graficus M.C. Escher zijn inmiddels wereldberoemd. Voor Escher waren de geometrische vlakverdelingen vooral een middel om bizarre levensvormen over het papier te laten kruipen, maar zijn studies naar de verschillende mogelijkheden om het tweedimensionale vlak met identieke figuurtjes te vullen, inspireerden vele wiskundigen en kristallografen. Aangezien Escher gebonden was aan het tweedimensionale speelveld van afbeeldingen op papier, heeft hij zijn verkenningen amper doorgetrokken naar hogere dimensies. Zou hij dit wel gedaan hebben, dan had hij waarschijnlijk een nieuwe bron van inspiratie aangeboord, want alleen al in drie dimensies is de regelmatige opvulling met veelvlakken bijzonder interessant. De simpelste vorm is uiteraard het stapelen van blokken, maar de natuur laat al veel complexere structuren zien in kristalroosters van vaste stoffen.
In dit artikel zal een exotische en erg elegante ruimtevulling besproken worden. De elementaire bouwstenen hiervoor zijn recentelijk ontdekt door Russell Towle bij zijn onderzoek naar veelvlakken met ruitvormige zijvlakken. Towle noemt zijn nieuwe veelvlakken rombische spiraloëders. Op zijn website laat hij er prachtige plaatjes van zien. Onafhankelijk van zijn werk en vanuit een heel andere invalshoek ben ik tot gelijksoortige objecten gekomen, die echter geen platte maar gekromde zijvlakken hebben. Ze moeten opgevat worden als limietgevallen van Towles spiraloëders. Mijn uitgangspunten zijn enkele van Eschers vlakvullingen, die ik nu eerst beschrijven zal.

Draaiende vierkanten

Ga uit van het hokjespatroon van vierkanten, zie figuur 2a. Uit dit patroon kun je een hele serie vlakvullingen laten ontstaan door geleidelijke vervorming. Draai namelijk alle vierkanten een stukje om hun middelpunt en verklein ze tegelijkertijd zó, dat ze net langs elkaar schuren. Je ziet dat er dan in figuur 2b tussen de witte vierkanten kleine zwarte vierkanten ontstaan. Draai je verder, dan groeien de zwarte vierkanten tot ze even groot zijn als de witte (figuur 2c) en draai je nog verder, dan krimpen de witte tot ze uiteindelijk alleen nog een punt zijn (figuur 2e) en hetzelfde hokjespatroon ontstaat als in figuur 2a, maar dan voor de zwarte vierkanten. Aldus ontstaat een hele film van opeenvolgende vlakvullingen waarin vierkanten al draaiend inkrimpen en weer uitdijen. Voor het afdraaien van die film verwijs ik naar de animaties op mijn website. Nadere bestudering van dit fascinerende patroon leert dat we tijdens de draaiing met drie series vaste punten te maken hebben, zie figuur 3. Behalve de middelpunten van de witte vierkanten (A_w) en de zwarte vierkanten (A_z), zijn dat de punten die altijd op de grens van twee vierkanten liggen.

De hoekpunten van de witte vierkanten blijken zich over cirkelbanen met middelpunten C te bewegen; een bewijs hiervoor vind je in het kader hieronder. Aangezien de hoekpunten van de zwarte vierkanten over dezelfde cirkels bewegen, is ook in te zien dat de witte en zwarte vierkanten precies dezelfde levensloop hebben, waarbij ze een halve periode van elkaar verschillen.

Stap naar de ruimte

Naar deze film van draaiende vierkanten kun je ook anders kijken. Vat ze niet op als opnames van een patroon dat in de tijd verandert, maar als een serie doorsneden van een driedimensionaal object. Leg de serie vierkanten in gedachten dus op elkaar tot een stapel, dan vormen ze samen een massief object dat eruit ziet als een soort schroef of een toefje, zie figuur 4. Figuur 4. QTS met geprojecteerde vaste punten op grondvlak

Omdat de witte en zwarte vierkanten dezelfde levensloop hebben, zijn de hieruit verkregen driedimensionale witte en zwarte objecten identiek. En omdat in elke doorsnede het vlak gevuld is, vullen deze objecten de hele ruimte als in figuur 1 (links) op pagina X. Ik noem deze driedimensionale QuatTorSine (viervoudige, getordeerde sinusoïde) of QTS. Merk op dat er een links- en een rechtsdraaiende variant bestaat van de QTS, met verder precies dezelfde eigenschappen. Hoe lang we de QTS precies maken, is niet belangrijk voor het feit dat de QTS een ruimtevuller is.
De vaste punten in het patroon van de draaiende vierkanten onthullen nadere bijzonderheden over de QTS. Een middelpunt A in de serie vlakvullingen vormt nu een verticale as van een QTS. De vaste punten B, waar de vierkanten langs elkaar schoven, zijn nu rechte lijnen die over de oppervlakken van de QTS lopen. In een met QTS'en gevulde ruimte zou je langs die punten lange dunne naalden tussen de bouwstenen in kunnen steken. De cirkelvormige baan die de hoekpunten beschrijven, zijn nu schroeflijnen waar de verschillende zijvlakken van een QTS aan elkaar zitten. In een bovenaanzicht zien ribben van de QTS er dus weer uit als cirkels.

Draaiende driehoeken

Er bestaat ook een vlakvulling gebaseerd op gelijkzijdige driehoeken, waarop ongeveer hetzelfde recept als met de vierkanten toegepast kan worden. Maak de driehoeken in dit patroon afwisselend wit en grijs, zie figuur 5a. Draai de witte driehoeken een klein stukje om hun middelpunt en verklein ze daarbij. Laat de grijze meedraaien en vergroot ze, zodat ze langs de witte schuiven. Dan ontstaat er een derde groep (zwarte) driehoeken. De drie groepen driehoeken groeien en krimpen al draaiend om hun middelpunten. Op mijn site kun je hiervan een animatie van bekijken. Ook in dit geval blijken er series vaste punten te zijn: de middelpunten van witte (A_w), grijze (A_g) en zwarte driehoeken (A_z), en punten B waar steeds twee driehoeken elkaar raken, zie figuur 6. Ook nu bewegen de hoekpunten zich weer over cirkelbanen met middelpunten C.

Ook ditmaal hebben driehoeken van verschillende kleur dezelfde levensloop, maar nu lopen ze 1/3 of 2/3 van een periode op elkaar achter.

Interpreteren we de opeenvolgende vlakvullingen als doorsneden van de ruimte, dan komt hier weer een nieuwe klasse (links- en rechtsdraaiende) ruimtevullende objecten uit te voorschijn: TriTorSine (drievoudige, getordeerde sinusoïde) of TTS, zie figuur 7 en 1 (rechts).

Bouwen met alleen maar schroeven

Hoewel je op het eerste gezicht absoluut niet zou zeggen dat je met deze rondvormige en schroevende objecten cementvrij kunt bouwen, blijkt deze ruimteverdeling veel overeenkomsten te hebben met bekende stapelingen. De TTS maakt namelijk net zoals een kubus contact met zes andere bouwstenen; de QTS heeft net als een ruitentwaalfvlak (zie het artikel van Jan van de Craats in Pythagoras van juni 2002) twaalf naaste buren. In de materiaalkunde worden de kristalstructuren van QTS en TTS respectievelijk body centered cubic en hexagonal close packed genoemd.
Veel van de symmetrie-eigenschappen die toe te schrijven zijn aan kristalstructuren, zijn ook hier van toepassing. Ruimteverdelingen van QTS of TTS zijn translatiesymmetrisch tussen willekeurige roosterpunten en respectievelijk vier- en drievoudig rotatiesymmetrisch om alle assen A en in geval van de QTS tweevoudig om de punten B. Vanwege de links- of rechtsdraaiende spiraalstructuur is er geen sprake van spiegelsymmetrie.
Een derde ruimtevuller zou je hopen te krijgen uit een patroon van regelmatige zeshoeken. In dat patroon ontstaan echter naast zeshoeken ook driehoeken. Het resultaat is een zeshoekig object, HexaTorSine (HTS) geheten, dat de ruimte alleen kan vullen in combinaties met TTS in een verhouding 1:2.

Verdere informatie

http://home.inreach.com/rtowle/Polytopes/spirallo/
http://www.student.tue.nl/e/f.snik/
E-mailadres auteur: f.snik@student.tue.nl
3D-figuren: Rikkert Koppes
Additionele bewijsvoering: Marco Swaen