Pythagoras augustus 1997

Antwoorden van de delers-opgaven

Als n geen kwadraat is, kunnen we de delers van n in d(n)/2 paren verdelen. In elk paar zit één getal dat kleiner is dan . Ofwel: , dat wil zeggen . Als n een kwadraat is, dan is een deler en alle overige delers vallen uiteen in paren, met in elk paar één getal kleiner of gelijk aan . Het aantal paren is daarom ten hoogste . Dus:
We weten nu dat . Dus d(n) = n/2 kan alleen als , dat wil zeggen . Dit betekent dat n < 16. Uit de tabel zien we dat n=12.
We rangschikken de delers in paren a,b met . Als n geen kwadraat is zijn er d(n)/2 van zulke paren. Het product van alle delers van n is dan . Als n wel een kwadraat is zijn er (d(n)-1)/2 paren en schiet over. Het product van alle delers is , dus ook dan .
In de tabel staan 6 getallen waarvan d(n) deelbaar is door 3; dat is . Tot en met 100 zijn er 27 van zulke getallen: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Als je tot een ander getal doorgaat, wijkt het gevonden percentage niet veel van 27 af.
Bovenstaande getallen hebben bijna allemaal een 2 in (minstens) een exponent. (Welke niet?) Dit is niet toevallig! Voor dan zijn de delers de getallen met en , dus is . Merk op dat 3 een deler van d (n) is dan en alleen dan als de priemontbinding van n een 2 of een 5 (of een 8 of een 11 of ...) in een exponent heeft staan. De `kans' dat n precies 2 òf 5 òf 8 òf ... factoren p bevat is gelijk aan:

De `kans' dat d (n) niet deelbaar is door 3 is gelijk aan het product van genomen over alle priemgetallen, dus . Dit product is afgerond op twee decimalen gelijk aan 0,73. Op grond van de theorie heeft dus inderdaad van de getallen n een aantal delers dat door 3 deelbaar is.

Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10