Pythagoras augustus 1999

Alle Nederlanders zijn even oud: de oplossing

door André de Boer

Elders in het augustusnummer van Pythagoras hebben we het domino-principe uit de doeken gedaan, een wiskundige bewijstechniek. Maar je moet het principe wel correct toepassen, want anders kun je hiermee aantonen dat in Nederland iedereen even oud is.

Iedereen in Nederland is even oud. Dat zullen we hier gaan bewijzen. In feite gaan we iets algemeners bewijzen, namelijk:

$\begin{displaymath}\vbox{\it In elke groep mensen is iedereen even oud.} \end{displaymath}$

Als dit waar is, is ook iedereen in Nederland even oud. We bewijzen de algemenere bewering. Het aantal mensen in de groep noemen we n. Voor een bewijs met volledige inductie moeten we twee dingen aantonen:
1. nagaan dat de bewering geldt voor n=1.
2. het domino-effect: aannemende dat de bewering klopt voor n personen, moeten we aantonen dat de bewering ook klopt voor n+1 personen.

Het bewijs

1. De eerste stap is eenvoudig. Er is maar één persoon, dus iedereen in de groep heeft dezelfde leeftijd. De eerste dominosteen van het bewijs is gevallen.

2. In de tweede stap van het bewijs moeten we het domino-effect aantonen: als de bewering klopt voor n personen, dan ook voor n+1 personen. Neem daarom aan dat de uitspraak waar is voor elke gezelschap dat uit n personen bestaat, dit is de inductieveronderstelling. Bekijk nu een groep van n+1 personen:

$\begin{displaymath}\underbrace{\strut\bullet\hspace{2mm} \bullet\hspace{2mm} \bu... ...} \bullet\hspace{2mm} \bullet\hspace{2mm} \bullet}_{\rm {n+1}} \end{displaymath}$

Als we de eerste of de laatste persoon weglaten, houden we npersonen over:

$\begin{displaymath}\rlap{$\overbrace{\phantom{\strut\bullet\hspace{2mm} \bullet\... ...} \bullet\hspace{2mm} \bullet\hspace{2mm}\bullet}}_{\rm {n}}$} \end{displaymath}$

Wegens de inductieveronderstelling zijn de eerste n personen allemaal even oud. Hetzelfde geldt voor de laatste n personen. De eerste persoon is dus even oud als een van de middelste n-1 personen, die op zijn beurt even oud is als de laatste persoon. De eerste persoon is daarom even oud als de laatste persoon. Conclusie: alle n+1personen hebben dezelfde leeftijd.

Nu het domino-effect is aangetoond en de bewering bewezen is voor een groep van 1 personen, geldt de bewering voor élk aantal personen: iedereen in Nederland is even oud!

We weten natuurlijk allemaal dat dit niet klopt. We hebben het principe van volledige inductie dus verkeerd gebruikt. Zie jij waar de fout zit? De oplossing van dit raadsel vind je hieronder.

Oplossing

De eerste stap van het bewijs is correct, daar is geen speld tussen te krijgen: in een groep van één persoon is iedereen even oud. Nogal wiedes, als de groep maar één persoon telt.

We weten natuurlijk allemaal dat de bewering niet kan kloppen. Dus dan moet er iets mis zijn met het domino-principe: er zal ergens een steen zijn die niet omgestoten wordt. Inderdaad -- we passen het bewijs dat we hierboven geschetst toe op het eerstvolgende geval: een groep van twee personen. Immers, in het bewijs wordt de eerste en de laatste persoon van de groep weggelaten. Voor n=2 personen blijft er dan niemand over om mee te vergelijken. De inductiestap uit het bewijs geldt alleen maar voor drie of meer personen, en niet voor n=2 personen!

Conclusie: Van een willekeurige groep van twee personen kan niet aangetoond dat de personen in die groep even oud zijn en daarmee valt het bewijs in duigen.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10