Pythagoras augustus 1999

Ramanujans formules voor oneindige sommen

door Frits Beukers

Misschien heb je je wel eens afgevraagd wat er gebeurt als je de getallen ${1\over2}$ , ${1\over4}$ , ${1\over8}$ , ${1\over16}$ enzovoort, bij elkaar optelt. We kunnen dit mooi illustreren met een plaatje. Teken een balk van lengte 1. Deel dit in twee gelijk stukken. Verdeel het rechterstuk weer in twee gelijke stukken. Verdeel het meest rechtse stuk weer in tweeën en ga zo door. We krijgen de volgende figuur.

$\begin{figuur}\epsfxsize=\hsize \epsffile{rama-geo.eps} \end{figuur}$

Aan dit plaatje kun je aflezen je dat

$\begin{displaymath}\frac12+\frac14+\frac18=1-\frac18. \end{displaymath}$

Als we in hetzelfde plaatje ook ${1\over16}$ , ${1\over16},\ldots,{1\over2^n}$ op hun plaats zetten, dan zien we op analoge manier dat

$\begin{displaymath}{1\over2}+{1\over4}+\cdots+{1\over2^n}=1-{1\over2^n}. \end{displaymath}$

De rechterkant gaat naar 1 als we n naar oneindig laten gaan. We zeggen daarom dat de reeks ${1\over2}+{1\over4}+{1\over8}+ \cdots$ convergeert. Bovendien noemen we 1 de som van de reeks.

Wat we hierboven voor de reeks $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$ hebben gedaan, kunnen we doen voor élke oneindige som. We zeggen dat een oneindige som $a_1+a_2+a_3+\cdots$ convergeert met som a als de rij deelsommen

$\begin{displaymath}\vcenter{\halign{ $ ...$

naar de limiet a gaat als n naar oneindig gaat. We geven een paar bekende voorbeelden van convergente reeksen.

$\begin{displaymath}\vcenter{\openup3\jot\halign{$\displaystyle ...$

Deze voorbeelden zijn al sinds de 18e eeuw bekend en zijn tamelijk standaard.

Het somteken (intermezzo)

Met het wiskundige symbool $\sum$ kunnen we oneindige reeksen heel kort opschrijven. De letter $\sum$ is de hoofdletter S uit het Griekse alfabet. Het symbool $\sum$ is een somteken: de formule $\sum_{k=1}^{\infty}{1\over2^k}$ staat voor de oneindige som $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$ Voor elk getal $k=1,2,3,\ldots$ tel je de breuken $\frac1{2^k}$ bij elkaar op. We hebben al gezien dat:

$\begin{displaymath}\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1. \end{displaymath}$

Dit kunnen we nu anders en korter opschrijven als:

$\begin{displaymath}\sum_{k=1}^{\infty}{1\over2^k}=1. \end{displaymath}$

Ramanujans formules

Nu je weet wat een oneindige som is, kun je misschien de formules waarderen die door Ramanujan zijn ontdekt. Bijvoorbeeld:

$\begin{displaymath}{1^{13}\over e^{2\pi}-1}+{2^{13}\over e^{4\pi}-1}+ {3^{13}\over e^{6\pi}-1}+\cdots={1\over24}. \end{displaymath}$

Of wat denk je van de volgende formule?

$\begin{displaymath}\vcenter{\halign{% \hfil${} ...$

Een benadering van $\pi$

Eén van Ramanujan's formules is bekend geworden doordat hij gebruikt werd voor de berekening van $\pi$ tot op een miljard decimalen. Hier is de formule:

$\begin{displaymath}{1\over\pi}={2\sqrt{2}\over99^2}\sum_{n=0}^{\infty} {(4n)!(1103+26390n)\over(n!)^4} \end{displaymath}$

Hierin is $n!=1\cdot2\cdots(n-2)(n-1)n$ en 0!=1. Als we van deze formule alleen de eerste term nemen (de term die hoort bij n=0), dan vinden we

$\begin{displaymath}{2\sqrt{2}\over99^2}\cdot 1103 = 0.318309878\ldots \end{displaymath}$

Vergelijk dit eens met

$\begin{displaymath}{1\over\pi}=0.318309886\ldots \end{displaymath}$

Het antwoord is tot op 7 decimalen correct! Elke volgende term van de reeks die we erbij nemen zorgt ervoor dat de precisie van de benadering met nog eens 7 decimalen toeneemt.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10