Pythagoras augustus 1999

Vier Sangaku opdrachten: de oplossingen

door Zsofia Ruttkay

Het juninummer van Pythagoras bevatte vier Sangaku-opdrachten: tradionele wiskundeproblemen die vroeger in Japanse tempels hingen. In het augusutusnummer vind je de oplossingen.

Gedurende het grootste deel van de Edo-periode (1603-1867) was Japan afgesneden van de westerse wereld. Maar geleerden uit alle lagen van de samenleving, van boeren tot samurai, ontdekten allerlei meetkundige stellingen. Deze stellingen werden gepresenteerd als schitterende gekleurde tekeningen op houten tabletten die opgehangen werden onder de daken van tempels en andere heilige plaatsen.

In het vorige nummer van Pythagoras stonden vier van die Sangaku-problemen. Een volledige uitleg van de opdrachten werd toen niet gegeven, evenmin als de oplossingen -- die volgen op deze pagina's. Voordat we de opdrachten gaan bespreken, eerst een beetje meetkunde.

Cirkels en raaklijnen

De Sangaku-opdrachten uit het vorige nummer hebben allemaal met cirkels en raaklijnen te maken. Een raaklijn is een lijn die met de cirkel precies één punt gemeen heeft: het raakpunt. Om aan de slag te kunnen, zijn de volgende eigenschappen van raaklijnen nuttig. Dit zijn eigenlijk ook stellingen -- probeer ze eerst te bewijzen.

I. Een raaklijn aan de cirkel staat loodrecht op de straal die het raakpunt met het middelpunt van de cirkel verbindt:

II. Vanuit een punt P buiten de cirkel lopen er twee raaklijnen aan de cirkel. De afstand van P tot de raakpunten is uit te drukken met behulp van de stelling van Pythagoras:

$\begin{displaymath}QP^2=OP^2-r^2 \quad\mbox{en}\quad RP^2=OP^2-r^2. \end{displaymath}$

In het bijzonder geldt QP=RP.

III. Als twee cirkels elkaar raken, dan ligt het raakpunt op de lijn die door het middelpunt van de cirkels gaat.

$\begin{figuur}\centerline{\epsfxsize=0.8\hsize\epsfbox{san-III.eps}} \end{figuur}$

IV. In een willekeurige driehoek kun je altijd een cirkel trekken die elke zijde raakt, de zogenaamde ingeschreven cirkel.

$\begin{figuur}\centerline{\epsfxsize=0.8\hsize\epsfbox{san-V.eps}} \end{figuur}$

V. Voor een driehoek met zijden a, b en c en straal r van de ingeschreven cirkel geldt:

$\begin{displaymath}\mbox{oppervlakte driehoek}=\frac{r(a+b+c)}2. \end{displaymath}$

Oplossing opdracht 1

$\begin{figuur}\centerline{\epsfxsize=\hsize\epsfbox{san-1.eps}} \end{figuur}$

Kijk naar de figuur. Laat de straal van de cirkels r en s zijn met $r\geq s$ . Volgens (I) is TQSR een rechthoek, zodat PT=r-s. Volgens (III) geldt: PQ = s+t. Nu gebruiken we de stelling van Pythagoras om d als de lengte van een zijde in de rechthoekige driehoek PQT te bepalen, namelijk:

d²=PQ²-PT².

Als we in de rechter kant PT=r-s en PQ=s+t invullen, dan krijgen we: $d=2\sqrt{st}$ .

Oplossing opdracht 2

De formule die we moeten bewijzen is

$\begin{displaymath}\frac1{\sqrt{r_3}}=\frac1{\sqrt{r_2}}+\frac1{\sqrt{r_3}}. \end{displaymath}$

Hieruit volgt dat $\frac1{\sqrt{r_3}}$ groter is dan $\frac1{\sqrt{r_2}}$ en $\frac1{\sqrt{r_1}}$ . Dus is r₃ de straal van de kleinste cirkel.

$\begin{figuur}\centerline{\epsfxsize=\hsize\epsfbox{san-2.eps}} \end{figuur}$

Kijk nu naar de figuur, waarin we aangenomen hebben dat $r_1 \geq r_2 > r_3$ . Van de vorige opdracht weten we dat:

$\begin{displaymath}\vcenter{\openup1\jot\halign{\hfil${} ...$

Dus $\sqrt{\phantom{!}r_1r_2}=\sqrt{\phantom{!}r_2r_3}+\sqrt{\phantom{!}r_1r_3}$ . Door beide kanten van deze vergelijking te delen door $\sqrt{r_1r_2r_3}$ krijgen wat te bewijzen was, namelijk:

$\begin{displaymath}\frac1{\sqrt{\phantom{!}r_3}}=\frac1{\sqrt{\phantom{!}r_2}}+\frac1{\sqrt{\phantom{!}r_3}}. \end{displaymath}$

Oplossing opdracht 3

Als je de tekening van deze Sangaku-opdracht zorgvuldig bekijkt, zie je dat deze is ontstaan door in het vierkant vier identieke rechthoekige driehoeken te tekenen, één op elke zijde van het vierkant. Van elke driehoek is de ingeschreven cirkel getekend. In het midden van het grote vierkant ontstaat een kleiner vierkant, waarvan ook de ingeschreven cirkel getrokken is.

$\begin{figuur}\centerline{\epsfxsize=\hsize\epsfbox{san-3.eps}} \end{figuur}$

De figuur die je krijgt hangt af van de rechthoekige driehoek die je gekozen hebt. In de figuur hierboven is de middelste cirkel niet even groot als de vier andere, in de tekening in het juninummer was dat wel het geval. De Sangaku-opdracht is te bepalen wanneer alle cirkels even groot zijn.

Het bepalen van de straal r van een ingeschreven cirkel is in een rechthoekige driehoek niet moeilijk: je moet bedenken dat de raakpunten op de rechthoekszijden, het rechthoekige hoekpunt en het midden van de ingeschreven cirkel een vierkant vormen. Dit volgt gemakkelijk uit (I). Volgens (II) verdelen de raakpunten de zijden in zes stukken, waarvan de stukken met hetzelfde hoekpunt paarswijs even lang zijn (zie de figuur bij II). Dus c=(a-r)+(b-r), zodat:

$\begin{displaymath}r=\frac{a+b-c}{2}. \end{displaymath}$

Het kleine vierkant in het midden heeft zijde (a-b), zodat de ingeschreven cirkel straal (a-b)/2 heeft. Die moet gelijk zijn aan r, zodat:

$\begin{displaymath}\frac{a-b}2=\frac{a+b-c}{2}. \end{displaymath}$

Hieruit volgt dat b=c/2. De rechthoekige driehoeken hebben daarom hoeken van $30^\circ$ en $60^\circ$ en er geldt $a=\smfrac12\sqrt3\,c$ .

Nu zullen we eigenschap (III) gebruiken. De oppervlakte van elk van de rechthoekige driehoeken is $\smfrac12ab$ . Volgens (V) geldt:

$\begin{displaymath}\frac{ab}2=\frac{(a+b+c)r}2. \end{displaymath}$

Hieruit volgt:

$\begin{displaymath}r=\frac{ab}{a+b+c}. \end{displaymath}$

We weten al hoe groot a en b zijn: $a=\smfrac12\sqrt3c$ en b=c/2. Als we dit in de bovenstaande formule invullen, dan krijgen we:

$\begin{displaymath}r=\frac{\sqrt3-1}4\,c. \end{displaymath}$

Oplossing opdracht 4

Deze laatste Sangaku-opdracht kan je goed demonstreren door een vierkant stuk papier (origamipapier of een servet) zó te vouwen, dat het hoekpunt B ergens op de zijde CD terecht komt.

$\begin{figuur}\centerline{\epsfxsize=\hsize\epsfbox{san-4.eps}} \end{figuur}$

Noem dit punt B'. Dan zijn de driehoeken FA'E en B'DE rechthoekig en gelijkvormig, en de stralen van hun ingeschreven cirkels noemen we s en r. De opdracht is te bewijzen dat waar je B' ook kiest, er altijd geldt r=x.

In de vorige opdracht hebben we gezien dat het diameter van een in een rechthoekige driehoek ingeschreven cirkel gelijk is aan de som van de twee rechte zijden minus de schuine zijde. Dus:

2s=x+y-z.

In de twee gelijkvormige driehoeken FA'E en B'DE is de verhouding van de straal van de ingeschreven cirkel tot een zijde hetzelfde. Met andere woorden:

$\begin{displaymath}\frac r{DE}=\frac s{A'E}\quad\mbox{en}\quad\frac r{B'E}=\frac s{EF}. \end{displaymath}$

Hieruit volgt:

r(EF-A'E) = s(B'E-DE).

Maar EF-A'E=z-x en met a als de zijde van het vierkant: B'E-DE = (a-x)-(a-y-z) = y+z-x. Verder zagen we al dat $s= \smfrac12(x+y-z)$ , zodat:

$\begin{displaymath}\vcenter{\openup2\jot\halign{\hfill\strut${} ...$

In de rechterkant staat y²-x²-z². Dit is gelijk aan -2x², want volgens de stelling van Pythagoras geldt x²+y²=z² (de driehoek EA'F is immers rechthoekig). Dus we hebben:

$\begin{displaymath}r(z-x) =\smfrac12(2xz-2x^2)=x(z-x). \end{displaymath}$

Hieruit volgt dat r=x.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Thursday 16 October 2003, 12:19