Pythagoras december 1998

Julia fractals en quaternionen

door Martijn Dekker

Als je voor het eerst een plaatje van een fractal ziet dan is het moeilijk te geloven dat de wiskunde die erachter steekt eigenlijk eenvoudig is. Toch is dat zo. Met dezelfde wiskunde is het zelfs mogelijk nog mooiere plaatjes te maken: 4-dimensionale fractals. Na het lezen van dit artikel zul je niet alleen weten hoe de plaatjes tot stand komen, maar je kan ze ook zelf gaan maken met een programma dat je gratis van Internet kan ophalen.

Simpele herhalingen

Laten we eerst eens kijken wat nou eigenlijk een Julia fractal is. Stel dat f(x)=x²+1. Kies een getal a₀ en bereken daarmee een nieuw getal a₁ door a₁ = f(a₀).

We kunnen met a₁ weer een nieuw getal a₂ berekenen door a₂ = f(a₁) te nemen, etc. Zo kunnen we door een beginwaarde a₀ te kiezen een hele rij getallen. In het algemeen kunnen we deze rij opschrijven als

$\begin{displaymath} a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\end{displaymath}$

waarbij

a_n+1 =f(a_n).

Hoe deze rij eruit ziet hangt natuurlijk af van de gekozen beginwaarde a₀. Voor sommige keuzes van a₀ zal a_n steeds groter worden als n groter wordt, voor andere keuzes van a₀ wordt a_n mischien heel klein als n steeds groter wordt en voor weer andere keuzes zal de rij heen weer slingeren en niet naar een bepaalde waarde doorgroeien. Een Julia fractal is de verzameling punten a₀ waarvoor de rij a_n niet divergeert ofwel, waarvoor a_n niet oneindig groot wordt als je n steeds groter kiest. Zo'n fractal kun je dus tekenen door voor iedere beginwaarde a₀ te kijken of de rij divergeert of niet. Divergeert de rij dan kleuren we a₀ wit en anders kleuren we hem zwart. Als we voor a₀ reele getallen nemen levert dat niet echt leuke plaatjes op, interessanter wordt het als we voor a₀ een punt in het vlak zouden kunnen kiezen. Maar wat is het kwadraat van een punt in het vlak? En hoe tel je twee punten bij elkaar op? Dit kan door ze als complexe getallen te beschouwen.

Complexe getallen

Een complex getal is van de vorm a+bi waarbij a en b reele getallen zijn en i een imaginair getal is met de eigenschap dat i² = -1. Een punt in het vlak met coordinaten (a,b) stelt het complexe getal a+bi voor. Wat is nu het kwadraat van een punt (a,b)? Dat bereken je als volgt:

En a² - b² + 2abi komt overeen met het punt (a²-b², 2ab). Dus dat punt is het kwadraat van (a,b)! Optellen is helemaal eenvoudig: (a+bi) + (c + di) = a+c + (b + d)i. Dus je telt punten coordinaatsgewijs bij elkaar op. Een rij punten in het vlak divergeert als de punten steeds verder van de oorsprong komen te liggen.

Door voor a_n geen reele maar complexe getallen te kiezen, is de Julia fractal die je krijgt 2-dimensionaal en dus goed te tekenen. Door voor f een goede formule te kiezen krijg je mooie figuren. Een voorbeeld van zo'n Julia fractal is het volgende plaatje. De punten die een niet divergerende rij punten opleverden zijn zwart getekend. De functie f die we gebruikten om dit plaatje te krijgen is f_C(x) = x² + C met C=0.376 - 0.25i.

Dit plaatje laat zien dat een simpele formule mooie plaatjes oplevert als je die formule maar vaak genoeg herhaalt, of itereert. Tot zover de twee dimensionale plaatjes. Nu op naar vier dimensies.

Quaternionen

We hebben gezien dat itereren van simpele formules toegepast op complexe getallen leuke 2-dimensionale plaatjes oplevert. Nu gaan we een stap verder. De dimensie van de plaatjes die we krijgen wordt duidelijk bepaalt door de dimensie van verzameling van mogelijke beginwaarden a₀. Bij complexe getallen is die dimensie twee dus krijgen we platte 2-dimensionale plaatjes. Is het ook mogelijk om hoger dimensionale fractals te maken? Het antwoord is ja. We gaan 4-dimensionale fractals maken door geen complexe getallen te gebruiken maar quaternionen.

Quaternionen lijken veel op complexe getallen. Een quaternion is een getal van de vorm a+bi+cj+dk waarbij a, b, c en d reele getallen zijn en i, j en k imaginaire getallen met de eigenschap dat

i² = j² = k² = -1.

Verder geldt ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j en ik = -j. Met deze rekenregels kun je quaternionen makkelijk vermenigvuldigen en optellen. Een quaternion a+bi+cj+dk kun je opvatten als een punt (a,b,c,d) in $\mathbf{R}^4$ .Nu kunnen we het zelfde spelletje spelen als eerder met complexe getallen: kies een quaternion a₀ = a+bi+cj+dk, itereer die met de formule

f(x) = x² + 1,

en kijk of het rijtje divergeert. Zo nee, dan hoort je gekozen quaternion tot een Julia fractal, en kleuren we het punt bijbehorende punt (a,b,c,d).

In plaats van de formule f(x) = x² + 1 kunnen we iedere functie f_C(x) = x² +C kiezen, en voor iedere waarde van C krijgen we een andere Julia fractal. Nu kunnen we mooie plaatjes gaan maken: kies je favoriete quaternion C en gebruik de functie f_C om te itereren. Omdat quaternionen vier dimensionaal zijn is zo'n Julia fractal een deelverzameling van $\mathbf{R}^4$ . Hoe teken je zoiets?

4-dimensionale plaatjes

Omdat een Julia fractal van quaternionen 4-dimensionaal is ze veel moeilijker te tekenen dan Julia fractals van complexe getallen. We passen een truc toe. We gaan niet de hele Julia fractal tekenen maar enkel een dwarsdoorsnede. Zo'n doorsnede maken we door niet alle punten (a,b,c,d) in de fractal te tekenen, maar enkel die punten (a,b,c,d) in de fractal waarvoor d een vast gekozen waarde heeft, bijvoorbeeld . Deze dwarsdoorsnede is dus 3-dimensionaal, en dat is al wat makkelijker te tekenen. Hieronder staat een plaatje van zo'n dwarsdoorsnede (d=0). De figuur toont alle punten (a,b,c,0) die een rijtje opleveren die niet divergeert.

Nu is het natuurlijk zo dat als je een andere dwarsdoorsnede zou nemen, dat het plaatje dan veranderd. Hieronder zie je een aantal plaatjes van de zelfde julia fractal maar met steeds andere dwarsdoorsnedes.

Zoals je ziet spelen nogal wat factoren een rol: de waarde van C in f_C(x)=x²+C bepaalt de Julia fractal. Daarnaast kies je een dwarsdoorsnede door de vierde coordinaat d een vaste waarde aan te laten nemen (meestal 0). Bij het kiezen van de waarde van C speelt een andere fractal een grote rol: de Mandelbrot verzameling. Het voert vrij ver om uit te leggen welke rol deze fractal precies speelt, maar op http://www.pff-software.demon.nl/qjn/qjn.htm is hier meer informatie over vinden.

Het beste beeld van hoe die 4-dimensionale Julia fractal eruit ziet krijg je door voor veel waarden van d de doorsnede te tekenen en dan al deze plaatjes achterelkaar te plakken zodat je een filmpje krijgt. Een 4-dimensionaal plaatje kun je weergeven als een filmpje van 3-dimensionale plaatjes. Zo'n filmpje kun je op Internet tonen; kijk op www.pff-software.demon.nl/qjn/qjn.htm.

QJN

Fractals zijn mooi om naar te kijken, maar het leukst is het om ze zelf te maken. Ik heb daarom een computerprogramma geschreven waarmee je makkelijk Julia fractals met quaternionen maakt: QJN, de "Quaternion Julia Navigator". De illustraties bij dit stukje zijn allen gemaakt met QJN. Dit programma kun je ophalen op Internet, surf even naar www.pff-software.demon.nl/qjn/qjn.htm. Je vindt daar een uitgebreide beschrijving van het programma, en natuurlijk vele voorbeelden en filmpjes. Met dit programma kun je ook allerlei trucs uithalen met de fractals. Zo kun je ze roteren, een ander kleurtje geven of kiezen voor een andere belichting. Het tekenen van deze 3-dimensionale plaatjes op een 2-dimensionaal computerscherm vergt ook enige wiskunde. Wie weet hierover meer in Pythagoras.

Links

Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10