Pythagoras december 1998

Een stompe hoek van 90 graden

door André de Boer

In de wiskunde moet je alles kunnen beredeneren. Maar met redeneren kun je makkelijk de mist in gaan; door foute redeneringen kun je dingen bewijzen die niet waar zijn. Bijvoorbeeld dat er stompe hoeken van negentig graden zijn.

In het vorige nummer van Pythagoras heb je een `bewijs' kunnen zien van 1=2. Dit bewijs klopt natuurlijk niet. Op de homepage van Pythagoras kun je lezen waarom niet. Dus is 1 niet gelijk aan 2, maar kleiner, precies zoals je op school geleerd hebt.

Op school leer je ook dat een stompe hoek groter is dan $90^\circ$ .Nu gaan we `bewijzen' dat er stompe hoeken bestaan die precies $90^\circ$ zijn.

We gaan uit van Figuur 1. De figuur is zo geconstrueerd dat $\overline{AD}=\overline{BC}$ . Verder is de hoek bij A groter dan $90^\circ$ , de hoek bij B is precies $90^\circ$ . We gaan bewijzen dat $\angle A=\angle B$ .

Een middelloodlijn deelt een lijnstuk in twee gelijke delen en staat loodrecht op het lijnstuk. De lijnstukken AB en CD zijn niet evenwijdig en de middelloodlijnen p van AB en q van CD dus ook niet. De middelloodlijnen snijden elkaar dus, zoals getekend in figuur 2, in een punt S.

Elk punt op de middelloodlijn van AB heeft dezelfde afstand tot A als tot B. Daarom volgt:

1. S ligt op p, zodat: $\overline{AS} = \overline{BS}$ ,
2. S ligt op q, zodat: $\overline{DS} = \overline{CS}$ .

Omdat ook nog geldt $\overline{AD}=\overline{BC}$ zijn de driehoeken $\triangle ASD$ en $\triangle BSC$ congruent en hebben ze precies dezelfde afmetingen. Dan volgt: $\angle SAD=\angle SBC$ . Omdat S op de middelloodlijn p ligt geldt $\overline{AS}=\overline{SB}$ , zodat $\triangle ABS$ gelijkbenig is. Daarom geldt: $\angle SAB=\angle SBA$ . Trekken we deze gelijke hoeken van elkaar af, dan krijgen we:

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \angle A &=\angle SAD-\angle SAB\ &=\angle SBC-\angle SBA=\angle B.\end{eqalign}\end{displaymath}$

Conclusie: Een stompe hoek van $90^\circ$ . Zie jij waar de fout in het bewijs zit?
Denk eerst maar eens goed na voordat je het antwoord opzoekt.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10