Notice: Undefined variable: titlelink in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/header.php on line 48
Pythagoras december 1998
Een stompe hoek van 90 graden
Een stompe hoek van 90 graden
`De oplossing'
We gaan `bewijzen' dat er stompe hoeken bestaan die precies 
zijn.
We gaan uit van Figuur 1. De figuur is zo geconstrueerd dat
. Verder is de hoek bij A groter dan
, de hoek bij B is precies .
We gaan bewijzen dat
.
Een middelloodlijn deelt een lijnstuk in twee gelijke delen en staat loodrecht op het lijnstuk. De lijnstukken AB en CD zijn niet evenwijdig en de middelloodlijnen p van AB en q van CD dus ook niet. De middelloodlijnen snijden elkaar dus, zoals getekend in figuur 2, in een punt S.
Elk punt op de middelloodlijn van AB heeft dezelfde afstand tot A als tot B. Daarom volgt:
1. S ligt op p, zodat: 
,
2. S ligt op q, zodat: 
.
Omdat ook nog geldt zijn de driehoeken
en 
congruent en hebben ze precies dezelfde
afmetingen. Dan volgt: 
. Omdat S op de
middelloodlijn p ligt geldt 
, zodat
gelijkbenig is. Daarom geldt: 
. Trekken we deze gelijke hoeken van elkaar af, dan krijgen we:
.
Zie jij waar de fout in het bewijs zit?
Wat klopt er niet?
De grap is dat een heel groot deel van het bewijs klopt. Alle genoemde congruenties kloppen! De fout in dit bewijs is heel subtiel, en zit niet zozeer in de redenering, maar in de tekening. De tekening in figuur 2 is fout! Voor de duidelijkheid kun je
het beste iets groter nemen.
Als je dan heel nauwkeurig tekent, dan zie je dat het snijpunt S veel verder naar beneden ligt!
Je krijgt de volgende figuur:
Wat klopt er nog wel?
Als je met de nieuwe figuur het bewijs vervolgt, dan klopt alles, tot de laatste berekening, die begint met de zin ``Tellen we deze gelijke hoeken van elkaar af, dan ...". Nu lopen we vast:
. Kijk maar in de tekening.
Notice: Undefined variable: footer_php_included in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 2
Deprecated: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5
Notice: Use of undefined constant SCRIPT_FILENAME - assumed 'SCRIPT_FILENAME' in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 11
Tuesday 27 May 2003, 14:10
