Pythagoras februari 1999

De schatzoekersprijsvraag

door Dion Gijswijt

Veel lezers hebben oplossingen ingestuurd voor de prijsvraag `De schat'. Deze lezers weten inmiddels waar de schat ligt en in de meeste gevallen konden zij dat ook bewijzen. U ook?

In het oktobernummer van vorig jaar werd een zeeman door de instructies op een oude schatkaart naar een eenzaam eilandje in de Stille Oceaan geleid. De instructies op zijn kaart waren:

``Ga naar de waterput en loop vandaar naar de oude olm, bepaal de afstand, ga rechtsaf en loop dezelfde afstand. Ga opnieuw naar de waterput en loop vandaar naar de pijnboom, bepaal de afstand, ga linksaf en loop dezelfde afstand. Verbindt de twee eindpunten en je zult de schat vinden op het midden van de verbindingslijn.''

Na zijn lange, barre tocht over de oceanen was de zeeman geschokt toen hij zag dat de oude olm en de pijnboom er nog steeds stonden, maar de waterput was verdwenen. Nu kon hij de kostbare schat nooit meer vinden.

Veel lezers van Pythagoras konden dat wel, zoals blijkt uit de talrijke goede inzendingen. Ze konden namelijk laten zien dat waar de waterput zich ook bevindt, de instructies op de schatkaart je altijd naar dezelfde plek voeren. De zeeman had een willekeurige plek als waterput kunnen nemen, de instructies op de kaart kunnen opvolgen en zo de schat kunnen vinden.

Het eerste bewijs

Hoe bewijs je nu dat de plaats van de waterput er niets toe doet? Hier volgt de oplossing die veel lezers hebben bedacht.

figuur1

In de figuur zijn de olm O, de pijnboom P en de waterput W getekend. De instructies op de kaart geven nu de twee eindpunten E en F. Precies tussen E en F ligt de schat S. Verder zijn de punten W', S', E' en F' de voetpunten van de loodlijnen uit W, S, E en F op lijn OP. We zullen nu bewijzen dat de plaats van S niet afhangt van W.

Omdat de driehoeken OW'W en EE'O congruent zijn, volgt dat $\overline{OW}=\overline{EE'}$ en $\overline{W'W}=\overline{E'O}$ . Ook driehoeken PW'W en FF'P zijn congruent, zodat $\overline{PW'}=\overline{FF'}$ en $\overline{W'W}=\overline{F'P}$ . Aangezien S het midden van EF is, is S' het midden van E'F' en dus ook het midden van OP. Ook is $\overline{SS'}$ het gemiddelde van $\overline{EE'}$ en $\overline{FF'}$ , zodat:

$\begin{align*} \overline{SS'} &=\half(\overline{EE'}+\overline{FF'})\\ [3pt] &=\half(\overline{OW'}+\overline{PW'})=\half \overline{OP}. \end{align*}$

De positie van S is dus alleen afhankelijk van O en P en niet van W.

Toch is dit bewijs niet helemaal waterdicht. Wie het stukje Een stompe hoek van 90 $\graden$ uit het decembernummer heeft gelezen, zal het misschien zijn opgevallen dat er iets vreemds gebeurt als W aan de andere kant van OP ligt, of als W heel ver naar links of rechts ligt. In dat geval klopt het plaatje niet meer.

Hoewel het niet moeilijk is om het bewijs kloppend te maken, is het leuker om het probleem op een andere manier te benaderen. Het bewijs wordt dan ook eenvoudiger. Dat is precies hoe veel andere inzenders het vraagstuk aanpakten.

Het tweede bewijs

Kies een assenstelsel zó dat de oude olm in de oorsprong O=(0,0) ligt en de pijnboom op de x-as, P=(1,0). De positie van de waterput weten we niet, dus nemen we W=(a,b), met a en b onbekend. Het eindpunt E=(-b,a) vind je door W over 90 $\graden$ om O te roteren, en het eindpunt F=(1+b,1-a) ontstaat door rotatie om P over $-90^\circ$ . De schat S bevindt zich in het midden tussen E en F, dus

$\begin{displaymath} S=(\half (-b+1+b),\half (a+1-a))=(\half,\half).\end{displaymath}$

De plaats van de schat is dus onafhankelijk van de plaats van de waterput.

$\begin{figuur} \epsfxsize=7cm \epsfbox{schat-4.eps}\end{figuur}$

Hoe vind je de schat?

Loop van de olm naar de pijnboom en tel het aantal stappen. Loop de helft van het aantal stappen terug, ga rechtsaf en loop nogmaals zoveel stappen. Daar vind je de schat.

$\begin{figuur} \epsfxsize=6cm \epsfbox{schat-3.eps}\end{figuur}$

Winnaars

De winnares in de categorie leerlingen tot en met 14 jaar is Jonathan de Block (10) uit Gent. Bij de leerlingen tot en met 17 jaar is Loes Wagenaar van het Mozaïekcollege in Arnhem in de prijzen gevallen. Tenslotte heeft in de categorie overige lezers Lucas van der Wiel uit Veldhoven gewonnen. Hartelijk gefeliciteerd, jullie krijgen alle drie de boekenbon van honderd gulden zo snel mogelijk opgestuurd.

Natuurlijk waren er naast deze drie winnaars nog veel meer goede inzenders. Dit zijn ze allemaal:

Jonathan de Block (10) uit Gent, Jasper E. Hendriks (12) uit Zwolle, Kirsten v.d. Bruele (13) uit Haarlem, Christian Tjahjadi (13) uit Zoetermeer, Brigit van Dalen (14), Vlaardingse Openbare Scholengemeenschap, Sebastiaan van Denderen (14) uit Overween, Marie-Emilie Ingen Hausz (14) uit Naarden, Renate Knooihuizen (14) uit Uithuizermeeden, Adriaan Louwerse (15), Calvijn College te Goes, Johan de Ruiter (15) uit Rijsoord, Gerard van den Akker (16) uit Amsterdam, Koen van Hees (16) uit Barendrecht, Loes Wagenaar (16), Mozaïekcollege, Gertjan Kok (17), Sint-Maartenscollege te Voorburg, Annick Weyzig (17), O.R.S Lek en Linge, Edwin van Vliet (18), Groene Hart Lyceum te Alphen a.d. Rijn, J. Belle uit Velp, S. Biesheuvel uit Weesp, Wilma den Boer uit Gouda, Daan Buisman uit Haren, Elias Buissant des Amorie uit Castricum, Fokko v.d. Bult uit Oegstgeest, L. Christaens uit Tongeren, Henk van Engen uit Assen, W.K. Goodijk uit Groningen, Job van de Groep uit Vianen, O. van Hees uit Barendrecht, Arie Heikoop uit Kampen, Huib Henrichs uit Haarlem, Ernst van de Kerkhof uit Sittard, Kees Nagtegaal uit Dordrecht, Philip Post & Mark Dingemanse uit Breukelen, H. Verdonk uit den Haag, Han Verhulst uit Gouda, J.J. Versluys uit Utrecht, Lukas van de Wiel uit Veldhoven, J.H. de Zoete uit Enkhuizen.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10