Pythagoras juni 1999

Drie drogredeneringen
door André de Boer

In de wiskunde moet je alles kunnen beredeneren. Maar met redeneren ga je makkelijk de fout in, want door foute redeneringen kun je dingen bewijzen die niet waar zijn. Kijk maar naar onderstaande drie uitspraken.

In het juninummer van Pythagoras behandelen we een aantal verschillende drogredeneringen: een drietal uitspraken vergezeld van een bewijs. Alle drie uitspraken zijn onwaar.

In de bewijzen zit dus een fout, en de vraag is waar. Kun jij de plaatsen aanwijzen waar een fout gemaakt wordt?

1. Elk getal is groter dan zichzelf

We beginnen met twee positieve getallen a en b met a>b. Vermenigvuldig beide getallen met b. Dan krijgen we

ab>b².

Trek nu links en rechts a² af:

ab-a²>b²-a².

Ontbind in factoren:

a(b-a)>(b-a)(b+a).

Deel nu beide leden van de vergelijking door b-a. Er staat dan:

a>b+a.

Het getal b is positief, dus groter dan nul. Maar dan is a groter dan zichzelf.

2. 1=2

Beschouw de volgende gelijkheid:

$\begin{displaymath}\underbrace{n+n+\cdots+n}_{n~{\rm keer}}=n\cdot n =n^2. \end{displaymath}$

Als we beide leden van de vergelijking naar n differentiëren, dan krijgen we:

$\begin{displaymath}\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n~{\rm keer}}=2n. \end{displaymath}$

Ofwel n=2n. Delen we links en rechts door n, dan krijgen we 1=2.

3. 50=5

Een vierde deel van een gulden is 25 cent:

$\begin{displaymath}\smfrac14\textrm{~gulden}=\strut25\textrm{~cent}. \end{displaymath}$

Trek nu in deze gelijkheid links en rechts de wortel:

$\begin{displaymath}\sqrt{\strut\smfrac14\textrm{~gulden}}=\sqrt{\strut25\textrm{~cent}}. \end{displaymath}$

Ofwel: $\smfrac12\textrm{ gulden}=5\textrm{ cent}$ . Conclusie: 50=5.

Zie jij waar de fouten zitten?
Als je er niet helemaal uit komt, kun je een kijkje nemen bij de oplossingen.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5

Laatst bijgewerkt op: Tuesday 27 May 2003, 14:10

Pythagoras juni 1999

Drie drogredeneringen door André de Boer

1. Elk getal is groter dan zichzelf

2. 1=2

3. 50=5

Drie drogredeneringen
door André de Boer