Notice: Undefined variable: titlelink in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/header.php on line 48
Pythagoras juni 1999
Drie drogredeneringen: de oplossing
door André de Boer
| In de wiskunde moet je alles kunnen beredeneren. Maar met redeneren ga je makkelijk de fout in, want door foute redeneringen kun je dingen bewijzen die niet waar zijn. Kijk maar naar onderstaande drie uitspraken. |
In het juninummer van Pythagoras behandelen we een aantal verschillende drogredeneringen: een drietal uitspraken vergezeld van een bewijs. Alle drie uitspraken zijn onwaar.
In de bewijzen zit dus een fout, en de vraag is waar. Kun jij de plaatsen aanwijzen waar een fout gemaakt wordt?
1. Elk getal is groter dan zichzelf
We beginnen met twee positieve getallen a en b met a>b. Vermenigvuldig beide getallen met b. Dan krijgen we
ab>b2.
Trek nu links en rechts a2 af:
ab-a2>b2-a2.
Ontbind in factoren:
a(b-a)>(b-a)(b+a).
Deel nu beide leden van de vergelijking door b-a. Er staat dan:
a>b+a.
Het getal b is positief, dus groter dan nul. Maar dan is a groter dan zichzelf.
2. 1=2
Beschouw de volgende gelijkheid:
Als we beide leden van de vergelijking naar n differentiëren, dan krijgen we:
Ofwel n=2n. Delen we links en rechts door n, dan krijgen we 1=2.
3. 50=5
Een vierde deel van een gulden is 25 cent:
Trek nu in deze gelijkheid links en rechts de wortel:
Ofwel:
.
Conclusie: 50=5.
Oplossingen
Als je wilt weten waar precies de redeneerfouten gemaakt worden,lees dan hieronder verder.
Oplossing 1
Eerst een voorbeeld. We beginnen met de positieve getallen a=3 en b=2. Vermenigvuldig beide getallen met b=2. Dan krijgen we
Trek nu links en rechts 32 af:
Ontbind in factoren:
3(2-3)>(2-3)(2+3).
Tot nu toe klopt alles, want er staat -3>-5. Nu delen we beide leden door 2-3=-1. Er staat dan niet 3>5, maar:
3<5.
Immers, bij deling door een negatief getal klapt het ongelijkteken om. Hierin zit dus de fout: we delen door b-a, en dat getal is negatief omdat we aannamen dat a>b.
Oplossing 2
Beschouw de volgende gelijkheid:
Links en rechts staat n2. Als we dat naar n differentiëren, krijgen we links en rechts 2n. De fout die we maken is dat we in
niet moeten vergeten ook naar de n moeten differentiëren die onder de accolade staat, dat is namelijk de tweede n in
.
Oplossing 3
In deze drogredenering wordt de wortel uit 1 gulden gelijk gesteld aan de wortel van 100 cent. Maar:
Als je dit meerekent, dan krijg je
,
en dat klopt!
Notice: Undefined variable: footer_php_included in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 2
Deprecated: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5
Notice: Use of undefined constant SCRIPT_FILENAME - assumed 'SCRIPT_FILENAME' in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 11
Tuesday 27 May 2003, 14:10
