Pythagoras oktober 1998

door Michel Vellekoop

Financiële beleggingsprodukten kom je tegenwoordig niet alleen op de beurs van Amsterdam tegen, maar ook veel dichter bij huis. Beleggen is in Nederland zo populair geworden dat de kans heel groot is dat jij ook wel iemand kent die aandelen of opties heeft. De kranten staan bol van de advertenties waarin mogelijkheden om te beleggen aangeprezen worden. Tijdens het WK voetbal afgelopen zomer kon je zelfs investeren in een `oranje beleggingsfonds'! Beleggen is zo populair omdat investeren in aandelen en opties op de lange termijn een veel groter rendement kan hebben dan wanneer je je geld op de bank laat staan en daarover rente ontvangt. Door deze grote populariteit is het aantal transacties op de Amsterdamse effectenbeurs enorm gestegen. In de laatste drie jaar verdrievoudigde het aantal aankopen en verkopen in effecten in Amsterdam tot meer dan een miljoen per maand, en de maandelijkse omzet is in die periode gegroeid tot meer dan 250 miljard gulden. En dan hebben we het alleen nog maar over aandelen en obligaties. De markt voor ingewikkeldere produkten, zoals de opties die tegenwoordig veel in het nieuws zijn, is goed voor nog eens 5 miljoen extra transacties per maand.

Enorme risico's

Beurshandelaren beheren grote hoeveelheden geld, die ze op een zo goed mogelijke wijze proberen te investeren in aandelen en opties. De beste combinatie van aandelen, opties verandert doorlopend. Daarom moeten handelaren de hele dag de markt in de gaten houden en op het juiste moment kopen of verkopen. Dat dit grote risico's met zich mee kan brengen, zal je wel duidelijk zijn. In het recente verleden is het al een aantal keren flink mis gegaan. De gigantische verliezen op de beurs als gevolg daarvan hebben laten zien hoe kwetsbaar grote financiële instellingen kunnen zijn als er iets fout gaat. In maart 1997 ondervond de National Westminster Bank dat op wel heel dramatische wijze. De bank moest een verlies van 90 miljoen pond incasseren, omdat een handelaar op een verkeerde manier de prijzen van opties op obligaties berekende. Twee jaar eerder was zelfs de Engelse Barings bank helemaal ten onder gegaan, doordat een optiehandelaar onverantwoorde risico's nam (zie: Bankrekeningnummer 88888).

Het is dan ook niet verwonderlijk dat het beheren van risico een steeds belangrijkere plaats inneemt in de financiële wereld. `Risico management' wordt dat genoemd, en wiskunde speelt daarbij een steeds grotere rol. Bij het bepalen van de juiste prijs voor een optie, een obligatie of nog ingewikkeldere producten komt heel wat wiskunde kijken. Omdat de markt voor financiële produkten zoals hypotheken en beleggingsfondsen steeds maar groter wordt, ontstaat er meer en meer behoefte aan computerprogramma's die allerlei soorten risico's voor de handelaar automatisch in de gaten houden. Maar welke informatie moet een computer precies aan een handelaar geven omtrent deze risico's? Dat is helemaal niet zo makkelijk vast te stellen. Bovendien wil je het liefst dat het beeldscherm de handelaar niet alleen vertelt dat er mogelijk iets mis gaat, maar ook wat hij het beste kan doen als dingen daadwerkelijk misgaan, natuurlijk! Aan de ontwikkeling van wiskundige methoden die hiervoor nodig zijn wordt momenteel hard gewerkt.

Omgaan met onzekerheid

Risico ontstaat door onzekerheid, en de wiskunde die zich bezig houdt met onzekerheid, de kansrekening, wordt hier veel toegepast. Het eigenlijke doel van veel financiële producten is het spreiden van risico's. Een simpel voorbeeld daarvan kennen we allemaal: de verzekering. Door je huis tegen brand te verzekeren vermijd je niet het risico dat er inderdaad brand bij je uitbreekt. Maar omdat veel mensen samen geld betaald hebben aan de verzekeringsmaatschappij, kan er bij brand een schadevergoeding uitgekeerd worden die je in je eentje nooit op zou kunnen brengen. Het risico op brand is dus niet verdwenen, maar wel over genoeg mensen gespreid om zo'n uitbetaling te bekostigen. Kansrekening helpt om uit te rekenen hoe hoog verzekeringspremies moeten zijn om dit allemaal mogelijk te maken.

Banken bieden tegenwoordig ingewikkelde produkten aan zoals beleggings- en clickfondsen. Dit zijn financiële produkten die een verzekering vormen tegen bepaalde risico's. De taak van de bank is het zo goed mogelijk spreiden en in de gaten houden van deze risico's, en daar is veel wiskunde voor nodig. Het is met name belangrijk om na te gaan hoe risico's in de tijd veranderen. Zo is het bijvoorbeeld belangrijk om te weten of bepaalde onzekere gebeurtenissen op een bepaald moment afhankelijk van elkaar zijn. Wiskundigen noemen die afhankelijkheid in onzekere gebeurtenissen correlatie . Het is niet moeilijk om te begrijpen waarom dit zo belangrijk is. Denk maar aan het voorbeeld van een brandverzekering. Als er door een orkaan plotseling in heel veel huizen tegelijkertijd brand uitbreekt (en het uitbreken van brand in de verschillende huizen in dit geval dus sterk afhangt van één en dezelfde gebeurtenis), dan zou dit plotseling een zeer grote schadeclaim opleveren.

Het Black-Scholes model

Robert Merton	Myron Scholes

Toen het artikel van Black en Scholes in 1973 gepubliceerd werd, had het meteen een enorme invloed. Binnen enkele maanden gebruikten beurzen over de hele wereld het nieuwe model, en de Black-Scholes formule werd in de rekenmachine van elke handelaar geprogrammeerd. Een van de dingen die beurshandelaren tegenwoordig op hun beeldscherm te zien krijgen, zijn de optieprijzen berekend met de methode van Black en Scholes. Tot op de dag van vandaag is vrijwel alle optietheorie gebaseerd op die methode. In oktober 1997 kreeg Myron Scholes daarom samen met Robert Merton, die ook nauw betrokken was bij de ontwikkeling van het model, de Nobelprijs in de Economie (Fisher Black was inmiddels overleden).

Wat Black en Scholes ook lieten zien, is hoe iemand die een optie uitschrijft, bijna geen enkel risico hoeft te lopen door goed op de aandeelkoers te letten en aan de hand daarvan aandelen te kopen of te verkopen; ze lieten dus zien hoe je de financiële risico's bij opties kunt uitschakelen! Dit aspect was voor de financiële industrie van enorm belang. De beste illustratie van het succes van het Black-Scholes model is de enorme groei in de handel in derivaten , de verzamelnaam voor alle ingewikkeldere financiële producten waarin gehandeld wordt. Alle financiële instellingen gebruiken tegenwoordig de handel in derivaten om hun risico's af te dekken. Zonder het Black-Scholes model was dit nooit mogelijk geweest.

De volgende afleveringen

De jaargang bevat zes artikelen over wiskundige toepassingen in de financiële industrie. De volgende onderwerpen komen aan de orde:

DECEMBER '98: Verzekeringswiskunde.
Welke kansrekening hoort er bij verzekeringen? Op welke dingen moet je letten bij het wiskundig modelleren van verzekeringen?

FEBRUARI '99: Modellen voor aandeelkoersen.
Hoe modelleren wiskundigen de onregelmatige kronkellijntjes die je in de grafieken op de financiële pagina's van kranten vindt? Hoe kun je zo goed mogelijk de onzekerheid in de aandeelkoersen modelleren? In het februarinummer worden zowel de modellen als hun bijzondere eigenschappen toegelicht.

APRIL '99: Prijsbepaling van opties.
Opties zijn de laatste tijd enorm populair geworden, en de wiskundige theorie voor het bepalen van prijzen voor opties heeft een stormachtige ontwikkeling doorgemaakt. Wat is een optie precies? Waarvoor worden opties in de praktijk gebruikt? Wie zijn er geïnteresseerd in het kopen en verkopen van opties en hoe bepalen handelaren in de praktijk de juiste prijs van een optie?

JUNI '99: Het begrip Risico.
Risico's zijn er altijd al geweest, maar in de loop van de geschiedenis is de manier waarop mensen met risico omgaan drastisch veranderd. Hoe definieer je risico's precies? Hoe kun je ze meten? In het juninummer bespreken we hoe je op een wiskundig verantwoorde manier risico-afwegingen kunt maken.

AUGUSTUS '99: Risico-management.
Alle grote banken hebben speciale afdelingen die zich bezig houden met het in kaart brengen van financiële risico's. Ook de individuele handelaar moet zich bewust zijn van wat er mis kan gaan als gevolg van bepaalde transacties. In het laatste nummer laten we zien hoe banken en beleggers in de praktijk met risico omgaan, en hoe wiskunde daarbij kan helpen.

Meer informatie: Pythagoras' Financiele Wiskunde links.