Pythagoras oktober 1998

door Sander van Rijnswou

Honderd mensen bezoeken een vergadering. Iedereen heeft een nummer gekregen, van 1 tot en met 100. De stoelen in de vergaderruimte zijn ook genummerd met 1 tot en met 100, zodat iedereen zijn juiste plaats krijgt. Voorafgaand aan de vergadering is er een receptie. Iedereen geniet al keuvelend van een sapje of een glas alcoholvrij bier. Bijna iedereen, want alleen mijnheer 1 weet zich niet te gedragen. Het ene na het andere glas bier slaat hij achterover, hij drinkt veel meer dan goed voor hem is. Na de receptie gaat iedereen één voor één de vergaderzaal in, op volgorde van hun nummer. Omdat nummer 1 teveel gedronken heeft, kan hij zijn eigen stoel niet meer vinden. In plaats van stoel nummer 1 neemt hij plaats op een willekeurige stoel. Elke persoon die na nummer 1 binnenkomt gaat op de stoel van zijn nummer zitten; tenminste, als die stoel nog niet bezet is, want anders ziet hij zich genoodzaakt om ook op een willekeurige plek te gaan zitten.

VRAAG. Wat is de kans dat mijnheer 100 op stoel nummer 100 terecht komt?

OPLOSSING. Merk allereerst op dat meneer 100 op slechts twee stoelen terecht kan komen, namelijk stoel 1 en stoel 100. Immers, als meneer 100 op een andere stoel zou kunnen gaan zitten, dan is die stoel vrij geweest op het moment dat de juiste bezitter van die stoel een plaatsje zoekt en dat kan niet. We kunnen dus stellen dat meneer 100 op de juiste plek terecht komt als ooit iemand stoel 1 kiest (en vanaf dat moment gaat iedereen op de juiste plek zitten) en dat meneer 100 op de verkeerde plek terecht komt als ooit iemand op stoel 100 gaat zitten (en daarna gaat iedereen behalve meneer 100 naar de juiste stoel).

Bekijk nu eens een plaatsingsvolgorde waardoor meneer 100 op stoel 1 terecht komt. Dat is gebeurd doordat een zekere meneer X stoel 100 uitkiest om op te gaan zitten. Op het moment dat meneer X zijn keuze maakt, kan hij ook stoel 1 nemen, want als stoel 1 al bezet is, dan heeft hij geen andere keuze dan op stoel X plaats te nemen. We veranderen deze plaatsingsvolgorde door meneer X niet op stoel 100 plaats te laten nemen maar op stoel 1. De rest van de plaatsing is gelijk behalve dat meneer 100 een andere plek krijgt (de juiste).

Op deze manier kunnen we iedere juiste plaatsingsvolgorde (waarbij meneer 100 op de juiste plek zit) koppelen aan een foute plaatsingsvolgorde (waarbij meneer 100 op stoel 1 zit). Deze twee volgordes hebben bovendien gelijke kans. Er zijn dus evenveel mogelijkheden voor meneer 100 om op de juiste als om op de verkeerde stoel terecht te komen. De kans is dus een half.
Warning: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5