Pythagoras december 2000

Op het podium staat geblinddoekt een wiskundige magiër. Naast hem een tafel met daarop flink wat muntstukken. Alles door elkaar, kwartjes, guldens, stuivers en dubbeltjes (het aantal doet er niet toe). Iemand uit het publiek komt naar voren, husselt de munten door elkaar en telt het aantal geldstukken dat met kop boven ligt.

Dat blijken er bijvoorbeeld zeven te zijn. "Zeven kop, de rest munt," krijgt de magiër te horen. Vervolgens drapeert een charmante assistente een zijden doek over de tafel met geld.

Nog steeds geblinddoekt zet de magiër zich achter de tafel. Hij kondigt aan dat hij twee stapeltjes zal maken, één links, één rechts, met in elke stapel precies evenveel munten met kop boven. Hij gaat met zijn armen onder de doek, mompelt magische formules en frutselt aan het geld. Na enige tijd trekt hij zijn handen terug en kondigt aan dat het gelukt is. De doek wordt weggehaald en de koppen worden geteld.

Wonder o wonder ... links en rechts liggen inderdaad precies evenveel koppen (twee, in dit geval)!

De vraag is: Kun jij dit ook? Weet jij hoe een wiskundige magiër dit zou doen?

N.B. Bij deze truc worden de munten niet bevoeld - je kunt de truc uitvoeren zonder van elke munt te weten of kop of munt boven ligt.

Oplossing: één kop

Stel er ligt 1 munt met kop boven. Wat zou in je in dat geval kunnen doen? Wel, je pakt uit de stapel een willekeurige munt en legt die apart. Als deze munt met kop boven lag, dan liggen de resterende munten met munt boven. Wat kun je in dit geval dus doen? Die ene munt omdraaien, want dan ligt ook die met munt boven.

Wat als de munt die je pakt met munt boven ligt? Dan bevatten de overgebleven munten precies één kop. De munt die je apart legde was een munt. Wat kun je nu doen? Juist, de ene munt omdraaien, dan wordt ook die kop. Je ziet, door één munt apart te leggen en die om te draaien, krijg je twee stapeltjes met links en rechts evenveel koppen (nul of een).

Twee koppen

Nu het geval van een stapel met twee koppen. Nu leg je twee munten apart. Er zijn nu drie mogelijkheden voor deze twee munten: het zijn twee koppen, twee munten, of één kop en één munt. In elk van deze gevallen kun je nagaan dat je door de twee apart gelegde munten om te draaien, je twee stapeltjes krijgt met precies evenveel koppen boven.

Het algemene geval

Nu kun je wel raden wat je in het algemene geval moet doen. Als er k munten met kop boven liggen, dan leg je k willekeurige munten apart en draait die allemaal om. Dan heb je twee stapeltjes met precies evenveel munten links en rechts. Dat dit zo is, zul je na de bovenstaande voorbeelden misschien wel geloven, maar een bewijs is natuurlijk veel mooier. Dat volgt hieronder.

Een formule

Stel je hebt een grote stapel munten, waarvan er k met kop boven liggen. Nu pak je k willekeurige munten en legt die apart. Van die k munten liggen er een aantal, zeg p, met kop boven. De andere k - p zijn dus munt. Er zijn dan nog k - p koppen over, die liggen in de stapel munten waar we niets mee doen. Nu draaien we de k apart gelegde munten om. Je krijgt dan p munten die met munt boven liggen, en k - p koppen, precies evenveel als in de andere stapel. Conclusie: we hebben nu twee stapels munten, waarvan in beide stapels er k - p met kop boven liggen. Einde bewijs.

Een plaatje

De correctheid van onze methode kun je nog makkelijker met een plaatje inzien. We leggen onze munten op een rij, met k koppen links en de resterende munten rechts. We selecteren daarvan k willekeurige munten (de lichtere munten).

Nu draaien we de geselecteerde munten om.