Pythagoras februari 2000

Elke twee getallen zijn gelijk

Hoe twee marktkooplui ruzie krijgen

Op de Albert Cuypmarkt zijn er twee marktkooplui die allebei 120 appels verkopen. De een verkoopt ze voor 50 cent en de ander verkoopt er drie voor een gulden. Samen hebben ze een opbrengst van 60 + 40 = 100 gulden. Gemiddeld verkopen ze (2+3)/2=2,5 appel voor 1 gulden. Ze besluiten samen te werken. Halve appels verkopen ze niet. Ze besluiten 5 appels te verkopen voor 2 gulden.

Aan het eind van de dag zijn alle appels verkocht. Ze tellen de opbrengst die 96 gulden blijkt te zijn. Ze gaan op zoek naar de ontbrekende 4 gulden en beschuldigen elkaar ervan het ingepikt te hebben. Je begrijpt dat ze de volgende dag weer ieder apart hun appels verkopen. Wat hebben ze over het hoofd gezien?

Oplossing

Elke twee getallen zijn gelijk. In de eerste drogredening trek je links en rechts de wortel uit: (a-c)² = (b-c)². Daaruit volgt niet dat a-c = b-c, want als a-c > 0, dan is b-c < 0 en omgekeerd.

Wat wel daaruit volgt, is dat a-c = -(b-c). Als je hierin voor c weer a+b/2 invult, dan volgt daaruit alleen 0 = 0.

De marktkooplui. Dat de marktkooplui in totaal 96 gulden verdienen als ze 5 appels voor twee gulden verkopen, kun je gewoon narekenen. Ze berekenen alleen op een verkeerde manier de prijs voor een appel. Als ze 100 gulden willen ontvangen voor 240 appels, dan moeten ze 100/240 gulden vragen voor een appel. Hieraan zie je dat je 2,4 appels voor een gulden moeten verkopen, en niet 2,5. Wat ze moeten doen, is dus 12 appels verkopen voor 5 gulden.

Waar zit nu de fout, zo vraag je je af. De kooplui berekenen het gemiddelde aantal verkochte appels per gulden. Dat levert alleen een goed antwoord op, als ze beide evenveel guldens incasseren. Maar dat is niet zo, de een incasseert 40 gulden, de ander 60. Ze verkopen wél evenveel appels. Wat ze dus moeten doen, is de gemiddelde verkoopprijs per appel berekenen. Die is gelijk aan (1/2 + 1/3)/2 = 5/12. Dus 12 appels voor 5 gulden, precies zoals we al berekend hadden.

De moraal van dit verhaal: het gemiddelde van de omgekeerden is niet het omgekeerde van de gemiddelden.