Notice: Undefined variable: titlelink in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/header.php on line 48
Pythagoras oktober 2000
Negen
Het getal 9 is niet zomaar een getal: het heeft bijzondere eigenschappen. Neem maar een willekeurig getal: 4355. Bereken de rest van dit getal bij deling 483 x 9 = 4347.
Meer dan 483 keer 9 past er niet in, want we houden 8 over, de rest. Dus:
We zeggen: ``4355 heeft rest 8 bij deling door 9.''
Cijfers optellen
Nu gaan we heel iets anders doen. We tellen de cijfers van 4355 bij elkaar op: 4+3+5+5=17. Voor de uitkomst 17 doen we hetzelfde: 1+7=8. Deze 8 is precies de rest van 4355 bij deling door 9.Dat is niet toevallig. Probeer het maar eens bij een ander getal. Bijvoorbeeld 132: 1+3+2=6, en 132 heeft rest 6 bij deling door 9.
Altijd krijg je de rest bij deling door 9, behalve als de uitkomst 9 is, dan is de rest 0 en niet 9. Dit volgt allemaal uit de volgende wiskundige waarheid:
Stelling. Elk geheel en positief getal heeft dezelfde rest bij deling door 9 als de som van de cijfers van dat getal.
De stelling verklaart wat we hierboven gezien hebben: 4533, 17 en 8 hebben alle drie de rest bij deling door 9, namelijk 8. Hetzelfde voor 132 en 6: rest 6.
We passen we dezelfde methode toe op 4347: 4+3+4+7=18 en 1+8=9. De stelling zegt dat 4347, 18 en 9 dezelfde rest bij deling door 9 hebben, namelijk 0 (en niet 9). Conclusie: 4347 is deelbaar door 9.
Restbepaling
Hoe bepaal je nu snel de rest van een getal bij deling door 9? Daarvoor tel je de cijfers één voor één bij elkaar bij elkaar op. Zodra een tussenuitkomst 9 is of groter, trek je er onmiddellijk 9 van af, want dat beïnvloedt de rest toch niet. Bijvoorbeeld: 4355; 4+3=7, 7+5=12-9=3, 3+5=8. De rest van 4355 bij deling door 4355 is dus 8.
Een bewijs
Waarom is de stelling waar? Daarvoor kun je een echt wiskundig bewijs geven. Dat doen we hier niet, we geven alleen het idee.
Als voorbeeld nemen we 132: wat is daarvan de rest bij deling door 9? We gaan niet delen, maar we gebruiken de betekenis van de decimalen van 132:
Je ziet: 132 is een negenvoud plus 1+3+2, en dat is precies de som van de cijfers. Vandaar dat 132 en de som van de cijfers dezelfde rest bij deling door 9 hebben.
Een truc
Probeer eens deze rekentruc met het getal 9.Notice: Undefined variable: footer_php_included in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 2
Deprecated: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5
Notice: Use of undefined constant SCRIPT_FILENAME - assumed 'SCRIPT_FILENAME' in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 11
Tuesday 27 May 2003, 14:10
