Notice: Undefined variable: titlelink in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/header.php on line 48
Pythagoras oktober 2000
Prijsvraag: Elk getal is bijzonder
| Het getal 47 is bijzonder: de stelling van Pythagoras is Propositie 47 in de Elementen van Euclides, en 47 komt voor in verbazend veel afleveringen van Star Trek: The Next Generation, Voyager en Deep Space Nine. Maar 47 is niet het enige bijzondere getal. |
Wat is er aan de hand met de getallen 6, 26 of 1210? Hebben deze getallen iets bijzonders? Ze lijken heel gewoon. Niets mee aan de hand, zou je zeggen.
Toch heeft elk van deze getallen een eigenschap die het bijzonder maakt:
6 is het kleinste perfecte getal. Een getal heet perfect als het gelijk is aan de som van de delers ongelijk aan dat getal: 6 = 1 + 2 + 3 en 1, 2, 3 vormen samen met 6 zelf alle delers van 6.
26 is het enige getal dat precies ingeklemd zit tussen een kwadraat en een derdemacht: 26 - 1 = 52 en 26+1=33.
1210 is het kleinste autobiografische getal. Een getal heet autobiografisch als het eerste cijfer het aantal nullen in het getal weergeeft, het tweede cijfer het aantal enen, het derde cijfer het aantal tweeën, enzovoort.
Bijzondere getallen
Kortom, 6, 26 en 1210 zijn speciale getallen, want daarmee is iets bijzonders mee aan de hand. Maar hoeveel bijzondere getallen zijn er? Vast niet zoveel, ben je geneigd te denken, alle overige getallen zijn gewoon.Maar een gewoon getal bedenken valt niet mee. Met elk getal blijkt wel iets bijzonders aan de hand te zijn. Neem bijvoorbeeld 17. Op het eerste gezicht heel gewoon, maar:
17 is het kleinste getal dat op twee verschillende manieren geschreven kan worden als de som van een kwadraat en een derdemacht:
Op deze manier blijkt met elk getal wel iets bijzonders aan de hand te zijn. Je kunt zelfs bewijzen dat er geen gewone getallen gestaan (zie inzet).
Prijsvraag
Bijzondere getallen vormen het onderwerp van de openingsprijsvraag van Pythagoras. We vragen onze lezers om lijsten van bijzondere getallen te maken. Een voorbeeld:
1 is het eerste positieve gehele getal.
2 is het eerste priemgetal. Het is ook het enige even priemgetal.
3 is het eerste oneven priemgetal.
4 is het kleinste "echte" kwadraat.
5 is het vijfde Fibonacci-getal. De Fibonacci-getallen zijn 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Elk volgende getal krijg je door de twee getallen ervoor bij elkaar op te tellen.
Veronderstel dat gewone getallen bestaan: getallen waarmee niet bijzonders aan de hand is. Neem van al deze gewone getallen het kleinste. Dat is dan het kleinste gewone getal. Maar het kleinste gewone getal is op zich een heel bijzonder getal. Het is dus zeker niet gewoon. Het getal is dus gewoon en niet gewoon: een tegenspraak. Er bestaat dus geen kleinste gewoon getal en dus zijn alle getallen bijzonder.
In de omschrijving moet zo min mogelijk verwezen worden naar andere getallen. Bijvoorbeeld: als je zegt dat 6 bijzonder is omdat het de enige oplossing is van 2x=12, dan heb je daarvoor de getallen 2 en 12 gebruikt. Hetzelfde met x=6, het getal zelf wil je natuurlijk ook niet gebruiken. Veel mooier is het om te zeggen dat 6 het kleinste perfecte getal is: daarvoor heb je geen andere getallen nodig!
redactie Pythagoras
Gewone getallen bestaan niet
Dat er geen gewone getallen bestaan, kun je zelfs bewijzen. Het bewijs gaat uit het ongerijmde: we laten zien dat er géén niet-bijzondere getallen kunnen bestaan.
Spelregels
Het gaat om een zo groot mogelijke lijst van bijzondere getallen van 1 tot en met 100. Elk getal in de lijst moet vergezeld worden van een uitleg waarom het getal bijzonder is. Hoe preciezer de omschrijving, hoe beter.
Beoordeling
Voor de beoordeling hanteert de redactie drie criteria: (a) de lengte van de lijst: hoe langer de lijst, hoe beter; (b) het aantal gaten in de lijst: een serie aaneengesloten bijzondere getallen wordt hoger gewaardeerd dan een lijst waarin veel gaten zitten; (c) de kwaliteit van de omschrijving: originaliteit, de mate waarin andere getallen in de omschrijving gebruikt worden, en hoe precies de omschrijving het getal vastlegt -- hoe wiskunidger, hoe mooier.
Prijzen
Voor deze prijsvraag worden drie prijzen van 100 gulden uitgeloofd, voor drie verschillende categorieën: leerlingen tot en met 14 jaar, leerlingen tot en met 17 jaar en overige lezers.
Voor groepsinzendingen van klassen en scholen zijn er twee speciale prijzen van 250 gulden.
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
42 42 42
Inzendtermijn
Inzendingen moeten uiterlijk 15 januari binnengekomen zijn op het volgende adres:
t.a.v. Dion Gijswijt
KdV Instituut voor Wiskunde
Plantage Muidergracht 24
1018 TV Amsterdam
Meer informatie
- http://www.ens-lyon.fr/~vlefevre/yp17_eng.html
- http://acad.fandm.edu/~al_burgman/42.html
- http://www.47.net/47society/
Uitslag
De uitslag van deze prijsvraag is gepubliceerd in het aprilnummer (pagina 20).Notice: Undefined variable: footer_php_included in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 2
Deprecated: setlocale() [function.setlocale]: Passing locale category name as string is deprecated. Use the LC_* -constants instead in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 5
Notice: Use of undefined constant SCRIPT_FILENAME - assumed 'SCRIPT_FILENAME' in /websites/users/pyth/public_html/pythwww/common/footer.php on line 11
Tuesday 27 May 2003, 14:10
