Regelmatige sterveelhoeken

Figuur 1: De regelmatige vijfhoek {5} en het pentagram {5/2}.

Figuur 2: De regelmatige sterzevenhoeken {7/2} en {7/3}.

Figuur 3: Keplers kleine sterdodecaëder {5/2,5}.

Voordat we beginnen met de bespreking van sterveelvlakken, gaan we een dimensie omlaag om het begrip 'regelmatige veelhoek' wat op te rekken. In figuur 1 zie je een regelmatige vijfhoek en een pentagram, een regelmatige vijfpuntige ster. Als je bij het pentagram alleen maar naar de vijf hoekpunten A, C, E, B en D en de vijf zijden AC, CE, EB, BD en DA kijkt, en dus de snijpunten van AC met EB, CE met BD enzovoort, niet meetelt, zie je dat je zo'n ster ook best een regelmatige vijfhoek zou kunnen noemen: er zijn vijf zijden die even lang zijn, en vijf hoeken die even groot zijn - in dit geval 36 graden. Het verschil met een gewone regelmatige vijfhoek is alleen maar dat de zijden elkaar nu snijden.
Bij de zevenhoek heb je twee stervarianten: een waarbij je telkens één hoekpunt overslaat, en een waarbij je telkens twee hoekpunten overslaat. Het is wel handig om voor regelmatige veelhoeken en sterveelhoeken een passende notatie te bedenken. De gewone regelmatige vijfhoek geven we aan met {5}, het pentagram met {5/2}, waarbij de 2 in de noemer slaat op het feit dat je bij een volledige rondgang twee maal om het middelpunt heen loopt. Evenzo geven we de twee sterzevenhoeken, zie figuur 2, aan met {7/2} en {7/3}, omdat je daar bij een volledige rondgang respectievelijk twee maal en drie maal om het middelpunt heenloopt.

Symbolen voor veelvlakken

Een veelvlak heeft hoekpunten, ribben en zijvlakken. Langs elke ribbe komen twee zijvlakken bij elkaar, en elke ribbe verbindt twee hoekpunten. Bij de gewone regelmatige veelvlakken zijn alle zijvlakken onderling congruente regelmatige veelhoeken, en in elk hoekpunt komen er evenveel samen.Zo telt de kubus zes vierkanten als zijvlakken, en in elk hoekpunt komen er drie samen. We geven de kubus daarom symbolisch weer met de notatie {4,3}, waarbij de 4 slaat op de vorm van de zijvlakken (elk zijvlak is een vierkant), en de 3 op de hoekpuntsconfiguratie, dat wil zeggen het feit dat er in elk hoekpunt 3 vierkanten samenkomen. In het lijstje hieronder zie je bij elk regelmatig veelvlak het symbool, de naam, het aantal hoekpunten H, het aantal ribben R en het aantal zijvlakken Z.

{p,q}	naam	H	R	Z
{3,3}	tetraëder	4	6	4
{4,3}	kubus	8	12	4
{3,4}	octaëder	6	12	8
{5,3}	dodecaëder	20	30	12
{3,5}	icosaëder	12	30	20