1: Wat zijn halfregelmatige veelvlakken?
2: Hoekensom en hoekensamenstellingen
3: Hoekenwet
4: Burenwet
Van veelvlakken bestaan er prachtige overzichten waarop allerlei fraaie voorbeelden te zien zijn. Het is echter veel leuker om zelf op zoek te gaan naar deze veelvlakken dan om ze eenvoudig op te zoeken. De speurtocht in dit artikel leidt naar de serie van de halfregelmatige en verzekert je dat je aan het eind de hele serie gevonden hebt.
Op een plaatje in een boek zien kristallen er mooi uit, maar ze maken nog meer indruk als je ze in het echt kunt zien. Het mooiste is het kristal dat je zelf vindt, tussen rotspuin na een lange zoektocht.
Zo is het eigenlijk ook met veelvlakken. Er bestaan prachtige overzichten van veelvlakken in soorten en maten. Maar in dit artikel nodigen we je uit zelf op zoek te gaan naar een beroemde serie veelvlakken. Die speurtocht levert je overigens niet alleen die serie op, maar ook de zekerheid dat de veelvlakken die je gevonden hebt, de enige veelvlakken zijn die aan de gestelde eisen voldoen.
Halfregelmatige veelvlakken
Om halfregelmatig te zijn moet een veelvlak voldoen aan de volgende drie eisen:
- de zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken;
- de hoekpunten zijn congruent;
- 3. het veelvlak is convex.
Vijf veelvlakken die aan deze eisen voldoen, ken je waarschijnlijk al, namelijk de vijf Platonische lichamen. Een ander bekend voorbeeld is de afgeknotte icosaëder, dat ook bekend staat als het voetbalveelvlak, zie figuur 1. Dit veelvlak is opgebouwd uit 12 regelmatige vijfhoeken 20 regelmatige zeshoeken. In overeenstemming met eis 2 zit elk hoekpunt op dezelfde manier in elkaar: er komen een regelmatige vijfhoek en twee regelmatige zeshoeken bij elkaar. Die opbouw van een hoekpunt kan kortweg beschreven worden met het rijtje getallen 6-6-5. Dat rijtje noemen we de hoeksamenstelling. De hoeksamenstelling van een kubus is bijvoorbeeld 4-4-4 en die van een octaëder 3-3-3-3.
De hoeksamenstelling bepaalt vanwege eis 2 de vorm van halfregelmatige veelvlakken in hoge mate. Zet je regelmatige vijf- en zeshoeken aan elkaar met steeds twee zeshoeken en een vijfhoek in een hoekpunt, dan kun je niets anders krijgen dan het voetbalveelvlak. Slechts bij één bepaalde hoeksamenstelling, namelijk 4-4-3-4, bestaan er twee echt verschillende halfregelmatige veelvlakken.
|
Figuur 1: De afgeknotte icosaëder, oftewel het voetbalveelvlak
|
1 | 2 | 3 | 4 | next
|
