1: ½n(n+1)
2: Volledige inductie
3: Een bewijs met volledige inductie
4: Een bewijs zonder volledige inductie
5: Opgaven
6: Oplossingen
Het domino-principe is een krachtige techniek waarmee je allerlei wiskunditge uitspraken kunt bewijzen. Hierbij bewijs je eerst dat iets geldt voor een eenvoudig geval. Daarna bewijs je dat het ook geldt als je, uitgaande van stap n, naar stap n+1 kijkt.
Het wereldrecord dominostenen omtuimelen staat op 1,4 miljoen stenen. Het werd gevestigd op 28 augustus vorig jaar (1998) in Leeuwarden. Je hebt het misschien wel gezien op tv: een grote hal met een vloeroppervlak van 4000 m2 waarin een lint van 78 km dominostenen was uitgezet. In totaal waren er 2,3 miljoen stenen geplaatst. Op een gegeven moment kreeg de eerste steen een duwtje, deze viel om en gaf de tweede steen een duwtje, zodat deze omviel en waardoor ook de derde steen omviel ... enzovoort. Uiteindelijk vielen er 1,4 miljoen stenen om; net voldoende om het wereldrecord te vestigen en opgenomen te worden in het Guiness Book of Records.
Bewijzen
Stel je wilt bewijzen dat de som van de eerste n getallen gelijk is aan ½n(n+1).
Met andere woorden, je wilt bewijzen dat:
en ga zo maar door. In een formule:
Je kunt controleren dat de formule klopt voor n = 1, 2 en 3.
Stel nu eens dat je wil bewijzen dat deze formule klopt voor alle natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, ... Als je de formule eerst controleert voor 1, daarna voor 2, dan voor 3, dan voor 4, voor 5, voor 6, dan begrijp je dat het bewijs nooit afkomt. Ga maar na: stel dat je vanaf je achttiende tot je achtenzeventigste levensjaar elke dag acht uur aan dit bewijs werkt. Als je 1 minuut nodig hebt om de formule voor één getal te controleren, dan zal je bij je overlijden niet verder zijn dan het getal:
In deze berekening staat 365¼ omdat eens in de vier jaar een jaar 366 dagen telt. Je ziet dat je dan nog lang niet klaar bent. Zelfs de snelste computer zal het bewijs nooit af krijgen, eenvoudig omdat er te veel getallen zijn.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
