Sommige mensen zeggen: 'Topologie, oh, dat is de kunst van het slecht tekenen'. Anderen zeggen: 'Topologie, dat is de studie van krommen, oppervlakken en ruimtelijk lichamen, die je vaak tegenkomt'. Om te beginnen, topologie is een onderdeel van de meetkunde. In de gewone meetkunde worden hoeken en lijnstukken gemeten met geodriehoek en lineaal. En twee figuren zijn hetzelfde als ze dezelfde afmetingen hebben. Zo zijn twee driehoeken gelijk als de drie zijden twee aan twee gelijk zijn. Maar in de topologie gaat het niet over lengte van krommen of over oppervlakten, noch over grootte van hoeken. Liniaal en geodriehoek heb je bij de studie van de topologie niet nodig. In de topologie heb je te maken met flexibele figuren. Men noemt de topologie ook wel rubbermeetkunde. Je moet je voorstellen dat de figuren zijn gemaakt van heel elastisch materiaal. Je mag een figuur, die van dat materiaal gemaakt is, uitrekken, maar niet scheuren of plakken. En toch blijft de topologische vorm van de figuur hetzelfde.

We kunnen dit het beste laten zien door middel van plaatjes. In de figuur zien we een hele collectie plaatjes. In elke kolom staan figuren van dezelfde vorm. Figuren in verschillende kolommen hebben een verschillende vorm: het bepalende verschil is het aantal gaten. Als figuren van dezelfde (elastische) vorm zijn, dan noemen we ze homeomorf. Het laatste woord is afgeleid uit het Griekse homoios (gelijk) en morphe (vorm).

Voorbeelden

Men zegt wel eens: een topoloog ziet het verschil niet tussen een donut en een koffiekop. Dat is natuurlijk onzin, maar als een topoloog met zijn vak bezig is dan wìl hij het verschil niet zien. Donut en koffiekop zijn hompen materiaal (deegwaar of klei, dat doet er niet toe) met één gat erin.

Laten we eens kijken naar de topologische vorm van de letters van het alfabet. We gebruiken hierbij schreefloze hoofdletters: (Let op: voor een correcte weergave heb je minstens Internet Explorer 7 of Netscape 7 nodig, anders zie je mogelijk letters met schreef)
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M,
N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.

Stel je voor dat de letters van draden zijn gemaakt. De eerste letter, de A, is niets anders dan een 'cirkel' met twee 'pootjes'. Er is nog een letter van deze 'vorm', namelijk de R.
De letter B is uniek; er is geen andere letter van deze vorm. Andere letters met een unieke vorm zijn: P, Q en X.
De C is de eerste uit een heel legioen: C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z.
Tenslotte hebben we nog drie kleine groepjes van letters: D, O en E, F, T, Y en H, K.

Letters uit verschillende groepjes zijn niet homeomorf. Kijk, bijvoorbeeld, eens naar de I en de O, topologisch bezien een interval respectievelijk een cirkel. Laten we uit I een punt weg dat géén eindpunt is, dan valt I uiteen in twee stukken. Laten we echter uit O een punt weg, dan houden we één stuk. Daarom kunnen I en O niet dezelfde vorm hebben.

Opgave. Bedenk redenen waarom A, B, P, Q, X, I, D, Y, H twee aan twee niet homeomorf zijn.