Figuur 1.

De muis in de doolhof van figuur 1 probeert zich voor de kat verscholen te houden. Kan de kat de muis pakken?

Jordan, die als een van de eersten het principe van het binnen- en buitengebied voor een algemene klasse van krommen opmerkte, bewees: iedere enkelvoudig gesloten kromme verdeelt het vlak in precies twee gebieden, waarvan die kromme dan de gemeenschappelijke grens is. Bij 'enkelvoudig gesloten kromme' kun je denken aan elke (kronkel)lijn op papier die gesloten is en zichzelf niet doorsnijdt. Een strakke definitie maakt gebruik van een begrip uit ons artikel in het vorige nummer van Pythagoras: een enkelvoudig gesloten kromme is een verzameling in het vlak die homeomorf is met de cirkel. Tegenwoordig noemen we zo'n kromme voor het gemak een Jordan-kromme.

Lijnentrek en veelhoek

Figuur 2. Een samenhangende en een niet-samenhangende verzameling

In dit artikel zullen we een idee geven van hoe je de stelling van Jordan kunt bewijzen. Omdat een Jordan-kromme erg ingewikkeld in elkaar kan zitten en het bewijs van de stelling van Jordan zelfs voor insiders knap lastig is, zullen we alleen relatief eenvoudige krommen bekijken, namelijk krommen die opgebouwd zijn uit stukjes rechte lijn. We omschrijven eerst nauwkeuriger wat voor soort krommen we daarmee bedoelen. Een lijnstuk is een stuk van een rechte lijn dat begrensd wordt door twee punten; die punten noemen we de eindpunten van het lijnstuk. Als je een aantal lijnstukken in het vlak achter elkaar legt, dan krijg je een lijnentrek; het eindpunt van ieder lijnstuk (behalve misschien het laatste) valt samen met het beginpunt van het volgende lijnstuk. Als ook nog het eindpunt van het laatste lijnstuk samenvalt met het beginpunt van het eerste lijnstuk, dan heb je een polygoon of veelhoek. De twee gebieden waarin het vlak verdeeld zal worden, moeten aaneengesloten zijn, anders zouden we nog meer gebieden hebben. Dat aaneengesloten-zijn wordt vastgelegd in de volgende definitie: we zeggen dat een verzameling samenhangend is, als je bij ieder tweetal verschillende punten van die verzameling een lijnentrek kunt maken die het ene punt als beginpunt heeft en het andere punt als eindpunt. In figuur 2 is het verschil tussen samenhangend en niet-samenhangend weergegeven.