1: Pythagoreïsche drietallen
2: Bewijs, formules en voorbeelden
Een vierkant met zijde 3 en een vierkant met zijde 4 hebben samen dezelfde oppervlakte als een vierkant met zijde 5, immers 32 + 42 = 52. Bovendien is het mogelijk de twee kleinere vierkanten in enkele stukken te verdelen waarmee je precies een vierkant van 5 bij 5 kunt leggen. We spreken dan van een dissectie. Edo Timmermans doet sinds enkele jaren op eigen houtje onderzoek naar dissecties van vierkanten en kubussen. In dit artikel presenteert hij enkele van de resultaten van zijn onderzoekingen.
Een jaar of twee geleden sprak een redacteur van Pythagoras mij aan op een bijeenkomst van Ars et Mathesis. Hij vroeg of ik een artikel wilde schrijven over het onderzoek waar ik mee bezig ben. Mijn onderzoek is ondertussen zover gevorderd dat ik de tijd rijp acht om dat te doen. Eerdere publicaties heb ik reeds gedaan in het blad van Cubism For Fun.
Begin jaren '90 stond er een puzzel in het tijdschrift van de faculteit wiskunde en informatica van de Technische Universiteit Eindhoven, alwaar ik op dat moment studeerde. Gevraagd werd om een 13 × 13 vierkant zodanig in vier stukken te verdelen, dat je met deze delen ook een 5 × 5 en een 12 × 12 vierkant kunt vormen. Met de hand vond ik een oplossing, en ik raakte zo geboeid door het vraagstuk dat ik een computerprogramma schreef dat hielp meer oplossingen te vinden. Het programma leverde verschillende leuke oplossingen en ik besloot om systematisch alle oplossingen op te sporen voor zowel het bovengenoemde probleem als voor 8 × 8 + 15 × 15 = 17 × 17. Daarbij keek ik alleen naar oplossingen waarbij de stukken niet gespiegeld mogen worden. Tevens ontdekte ik dat de oplossingen vaak op een algemeen idee terug te voeren waren, waarmee je ook vierkanten met andere afmetingen kon opdelen. Uiteindelijk leverde dit mij 29 formules die ieder een oneindige reeks van dissecties beschrijven.
Pythagoreïsche drietallen
Drietallen zoals (3, 4, 5) en (5, 12, 13) noemen we Pythagoreïsche drietallen. Het zijn gehele getallen die volgens de stelling van Pythagoras kunnen optreden als de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek. Oftewel, gehele getallen a, b, c waarvoor geldt dat a2 + b2 = c2.
Omdat (3, 4, 5) een Pythagoreïsch drietal is, zijn bijvoorbeeld (6, 8, 10) en (9, 12, 15) het ook. We noemen (3, 4, 5) een priemdrietal, omdat het niet de uitvergroting is van een ander drietal.
Een bekende stelling zegt dat er oneindig veel Pythagoreïsche priemdrietallen zijn. Met de onderstaande formule zijn die allemaal te vinden. (Zie voor het bewijs de volgende pagina)
Kies gehele getallen k en n, met k positief oneven en n niet negatief. Neem dan
| a | = | k2 + 2k(n+1), |
| b | = | (a2 - k4)/(2k2) = 2(n+1)(k+n+1), |
| c2 | = | a2 + b2, |
dan is (a, b, c) een Pythagoreïsch priemdrietal.
Kies je bijvoorbeeld k = 1 met n = 0, dan krijg je het 'kleinste' drietal (3, 4, 5). En neem je bijvoorbeeld k = 1 en n = 3, dan krijg je (9, 40, 41).
1 | 2 | next
|
