Van jongs af zijn we vertrouwd met oppervlakken: een bal, een kubus, een zwemband, een ijshoorntje. Dus ook zonder een wiskundige definitie hebben we een aardig idee van wat een oppervlak in het algemeen is. Zogezegd is het iets dat er overal van dichtbij plat uitziet, maar van een afstand wel gekromd en/of gedraaid kan zijn. Oppervlakken kunnen behoorlijk ingewikkeld in elkaar zitten, zo zeer dat er niet eens driedimensionale modellen van gemaakt kunnen worden. Hoe ingewikkeld ze echter ook zijn, in principe hebben ze altijd een bouwplaat, die gewoon uit platte stukjes bestaat die met bepaalde randjes aan elkaar geplakt moeten worden, om het oppervlak te vormen. Het materiaal voor de (denkbeeldige) bouwplaten is geen karton of papier, maar zeer flexibel, super-elastisch materiaal dat je kan rekken of samentrekken naar behoefte. We zullen nu een hele stoet van oppervlakken met hun bouwplaat aan ons voorbij zien trekken.

De riem

Het oppervlak in het eerste voorbeeld is de riem. In figuur 1 is een rechthoek getekend. Bij iedere zijde staat een letter en een pijl; de zijden zijn gerichte lijnstukken. Als bij twee zijden dezelfde letter staat, dan wil dat zeggen dat die twee zijden op elkaar geplakt moeten worden en wel zó dat de pijltjes dezelfde kant op wijzen. De informatie die op de rand van de rechthoek staat, kunnen we kort en bondig opschrijven met het schema aba^tc. Je moet dit schema zo lezen: als je langs de rand van de rechthoek linksom loopt, dan loop je (als je rechtsonder begint) eerst met de zijde a mee, dan met b mee, daarna tegen a in, en tenslotte met c mee. Dat je tegen een zijde in loopt, geef je aan door gebruik te maken van de bovenindex t. Was je linksboven begonnen dan was het schema a^tcab geworden, maar dat geeft op de rand dezelfde (cyclische) volgorde als het eerste. Voor ons zijn de schema's aba^tc, ba^tca, a^tcab en caba^t hetzelfde. Als je de rechthoek smaller en hoger maakt, dan lijkt wat je krijgt meer op een cilinder.

De torus

De bouwplaat van de torus in figuur 2 lijkt veel op die van de cilinder, alleen worden nu de kopse kanten nog aan elkaar geplakt. Dat kan natuurlijk omdat het materiaal superelastisch is. Het schema is aba^tb^t.
De torus met gat, die elders in dit nummer binnenstebuiten gekeerd wordt, maak je met de bouwplaat in figuur 3. Het schema is acba^tb^t. De hoekpunten zijn genummerd 1 tot en met 5. Als we nu het hoekpunt 1 de naam P geven, dan moeten we 3 ook P noemen, want 1 en 3 zijn beide eindpunt van a. Omdat 3 en 4 beide eindpunt zijn van b, zijn ze hetzelfde punt, dus ook 4 moeten we P noemen; maar dan ook 5 (beginpunt a). Alle hoekpunten zijn dus hetzelfde en komen bij het plakken op elkaar terecht.
Bij de riem zijn er twee verschillende hoekpunten. Of hoekpunten al dan niet verschillend zijn, is helemaal bepaald door het schema. De torus met gat wordt meestal een hengsel genoemd.

De bol

Het schema van de bouwplaat van de bol in figuur 4 is aa^t. We hebben ondertussen zo veel ervaring met bouwplaten en schema's dat figuur 5 van de bol met 1 gat, dat is een muts of ijshoorn, en figuur 6 van de bol met 2 gaten geen toelichting nodig hebben.