Je kent het 24-spel waarschijnlijk van de flippo's uit de zakken van Smiths chips. Je krijgt vier van de getallen 1 tot en met 9, en met de bewerkingen +, -, × en : moet je 24 maken. Het 24-spel wordt tegenwoordig veel gebruikt in het rekenonderwijs. Eigenlijk zijn er drie versies van het spel, afhankelijk van hoe je de berekening mag uitvoeren.

Versie 1. Je moet meteen doorrekenen met het getal dat je al gemaakt hebt. Neem bijvoorbeeld 1129; als je doet 9-1=8, dan moet je daarna meteen verder met 8. Je mag dan niet eerst 1+2=3 doen. Op deze manier kun je met het viertal 1129 geen 24 maken. De berekening in versie 1 hebben altijd de vorm ((a * b)* c) * d, waar elke * staat voor +, -, × of :. Deze versie wordt veel gebruikt op de basisschool.
Versie 2. Het tussenresultaat van de eerste bewerking hoeft niet meteen gebruikt te worden. Hiervan is (9-1)×(2+1) een voorbeeld. We eisen wel dat alle tussenresultaten gehele getallen zijn. Bij de oplossing (9-1)×(2+1) voor 1129 is dat het geval. Voor bijvoorbeeld 3377 is er echter niet zo'n oplossing.
Versie 3. Ook de laatstgenoemde beperking - de tussenresultaten zijn gehele getallen - vervalt. Dan is er voor 3377 ook een oplossing. Welke?

Ik heb een spelletje geschreven, genaamd Flippo, dat gebaseerd is op de tweede versie van het 24-spel. Later heb ik nog een versie geschreven, die voldoet aan de derde beschrijving. Dit spel doopte ik Flipplus. Er wordt een viertal getallen gekozen. De bedoeling is om binnen twee minuten de oplossing te vinden. De opgaven variëren in moeilijkheidsgraad van zéér eenvoudig tot heel moeilijk. Daarnaast is er een speciale docentenversie, die kan worden gebruikt om geschikte opgaven voor de leerlingen te selecteren. Mochten de leerlingen na een tijd alle mogelijke sommen een keer gezien hebben (het zijn er 404, zie daarvoor 'De post' in Pythagoras van oktober 2001), dan kan eenvoudig een ander resultaat, of andere startwaarden worden gekozen. In dit artikel wil ik uitleggen wat er kwam kijken bij het schrijven van Flippo. Daarna geef ik enkele tips voor het oplossen van 24-spelopgaven. Ik eindig met een reeks opgaven van verschillende zwaarte. Meer opgaven staan op mijn homepage www.coster.demon.nl, waar ook Flippo te vinden is.

De vorm van de berekening

Hoe kom je er met de computer achter of vier getallen samen 24 kunnen opleveren? Het idee is simpel: laat de computer alle mogelijke berekeningen van +, -, × of : met die vier getallen in alle mogelijke volgorden uitproberen. Welke mogelijke berekeningen zijn er allemaal? Ten eerste heb je te maken met de vorm van de berekening. Met een viertal abcd kun je namelijk op verschillende manieren te werk gaan. Je kunt 'doorrekenen' zoals in versie 1. Je kunt ook eerst a en b nemen, dan c en d, en tenslotte de beide resultaten. De berekening heeft dan de vorm (a * b) * (c * d). In totaal zijn er vijf verschillende vormen mogelijk:

• ((a * b) * c) * d, bijvoorbeeld ((7 + 1) - 4) × 6 = 24,
• (a * (b * c)) * d, bijvoorbeeld (6 : (8 - 6)) × 8 = 24,
• (a * b) * (c * d), bijvoorbeeld (5 + 7) × (9 - 7) = 24,
• a * ((b * c) * d), bijvoorbeeld 6 × ((7 + 1) - 4) = 24,
• a * (b * (c * d)), bijvoorbeeld 6 : (1 - (3 : 4)) = 24.