In Spanje en Portugal zijn de huizen vaak versierd met mooie betegelingen. Dit zijn mozaïeken waar een herhalend patroon in zit. Escher heeft veel van die betegelingen in Zuid-Spanje bestudeerd. Hij heeft ze nagetekend en heeft er variaties op gemaakt met allerlei dieren en figuurtjes.

Bekijk de onderstaande figuur eens. Het is een voorbeeld van een regelmatige vlakvulling. Je ziet dat de paarden zó herhaald worden dat ze elkaar niet overlappen, maar dat ze wel het hele vlak opvullen.

Een regelmatige vlakvulling is een patroon dat ontstaat door een bepaald figuurtje, ook wel 'tegel' genoemd, zó te herhalen dat het hele vlak wordt opgevuld zonder dat de tegels elkaar overlappen. Het hele patroon kan door translatie (verschuiving) in twee richtingen zo verplaatst worden, dat het weer op zichzelf terecht komt. Bovendien kan het patroon extra symmetrieën hebben: rotatiesymmetrie (draaiingen) en spiegelingssymmetrie.

OPDRACHT 1. Neem een vel transparant papier en trek het herhalende deel, de 'tegel' over. Let op: we maken geen onderscheid tussen de bruine en witte paarden. (In de kantoorboekhandel is mat transparant papier te koop. Dit heb je straks ook nodig voor je eigen ontwerp.) Hoe kun je de tegel verplaatsen zo dat hij weer op zichzelf terecht komt?

OPDRACHT 2. Onder de mooie paarden kun je een rooster van veelhoeken (driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken, ...) herkennen waar het hele vlak mee wordt opgevuld. Teken dit onderliggende rooster op een transparant vel.

Een systematische manier om dit onderliggende rooster te vinden is de volgende: Je zoekt de hoekpunten in de tekening, waar verschillende figuren samenkomen. Bij een van die figuren loop je de hele vorm langs op zoek naar andere punten waar meerdere figuren samenkomen. Als je alle punten hebt gevonden, dan kun je die punten met elkaar verbinden door rechte lijnen en dat is dan het onderliggende rooster. Probeer het nog maar eens!

OPDRACHT 3. Hiernaast zie je verschillende voorbeelden van regelmatige vlakvullingen. Andere voorbeelden vind je in Baarn. In de Escherlaan daar zijn de huizen versierd zijn met tegels met daarop regelmatige vlakvullingen van Eschers hand. Zoek ook hier de tegel. Hoe kun je de tegel verplaatsen zo dat hij weer op zichzelf terecht komt? En wat is het bijbehorende rooster?

OPDRACHT 4. Er zijn verschillende roosters te gebruiken voor een vlakvulling. We hebben nu een paar voorbeelden gezien. Bedenk nog meer roosters waar je het vlak mee kunt vullen en teken ze.