Verschillende methoden om aan te tonen dat de hex-puzzel uit het juninummer (Pythagoras 40-5) onoplosbaar is.
In het juninummer van Pythagoras staat op bladzijde 19 een hex-puzzel. De zeven puzzelstukjes bestaan elk uit vier gelijkzijdige zeshoeken (moeren). De bedoeling is met deze '4-hexagons' bepaalde figuren te leggen. Of een regelmatige driehoek met deze stukjes gelegd kon worden, was de redactie niet bekend. Om dit uit te zoeken zat bij het artikel een prijsvraag, met een prijs van 100 gulden voor de eerste inzender van een correcte oplossing.
In de tekst van de prijsvraag waren de verwijzigingen naar figuur 4 en 5 per ongeluk verwisseld, maar gelukkig begreep iedereen wat de bedoeling was.
QBASIC
Jaap Bak uit Amstelveen stuurde een programma in Q(uick)BASIC, dat systematisch probeert de zeven hexagons op alle mogelijke manieren in de regelmatige driehoek te passen. Het programma vond geen oplossingen en dus kan de driehoek niet gelegd worden. Jaap Bak, student wiskunde aan de VU, is overtuigd van de juistheid van zijn programma, maar mooi vindt hij zijn bewijs niet. Hij schrijft: "Mocht mijn inzending meedingen naar de prijs, dan sta ik die graag af aan iemand die een bewijs vindt dat niet gebruikt maakt van de computer."
Solomon Golomb
Aad van de Wetering (avdw3b@wxs.nl) wees ons op het boek Polyominoes van Solomon W. Golomb (ISBN 0-691-08573-0, tweede druk Princeton Science Library 1996). Op pagina 125 staat hetzelfde probleem. Golomb schrijft daar:
"No such tiling exists. One way to show this is to start with the three inequivalent locations of the 'propeller', shown in figure 195. Each of these starts can be searched exhaustivily (tediously by hand, or more quickly by computer) to show that no successful completion of the tiling, using one of each of the seven tetrahexes, is possible. (Did anyine find a simpler proof of impossibility?)"
Aad schrijft: "De laatste zin is veelbetekenend. Golomb heeft zelf geen bewijs kunnen vinden en nodigt lezers uit die aan te dragen. Het zou fantastisch zijn als iemand zo'n bewijs zou kunnen leveren, daarmee Golomb een grote dienst bewijzend."
"Zelf kan ik u geen bewijs leveren. Merkwaardig is het feit dat bij verplaatsing van slechts één zeshoekje in de top er 30 oplossingen mogelijk zijn, een ervan staat afgebeeld in de onderstaande figuur. Die 30 oplossingen heb ik niet met de hand gezocht, ik heb er een programma voor geschreven dat al jaren gratis voor iedereen op een van mijn internetpagina's staat. De naam van het programma is, hoe kan het anders, Polyhexes."
Niet alleen voor aaneengesmede zeshoeken heeft Aad zijn best gedaan, ook voor polyiamonds (gelijkzijdige driehoeken) en polyomino's (vierkanten) zijn op dezelfde WWW-pagina programma's beschikbaar.
Meer informatie
Pen en papier
Twee dagen na het verschijnen van het juninummer kwam bij de redactie een bewijs met pen en papier binnen, van de hand van Zacharias Klaasse uit Lieren. Door systematisch alle mogelijkheden na te gaan, kwam hij tot de conclusie dat het vullen van de gelijkzijdige driehoek met de zeven 4-hexagons niet mogelijk is.
Bij zijn oplossing gebruikt hij verschillende redenen waarom 'een positie staakt' (een positie is een situatie waarin een aantal stukken in de denkbeeldige driehoek geplaatst is, een positie 'staakt' wanneer er geen stukken meer in de driehoek kunnen worden geplaatst). In zijn bewijs gebruikt hij het volgende:
- Als er een ruimte afgesloten wordt, dan moet die ruimte een veelvoud van vier zeshoeken groot zijn. Is dat niet het geval, dan staakt de positie.
- Een positie staakt als er geen stukken meer voorhanden zijn die in de overgebleven ruimte passen.
- Een stuk moet soms per sé ergens komen te liggen, omdat er geen andere stukken die ruimte op kunnen vullen.
Als start van zijn redenering kiest hij het 'halvemaantje'. Dat stukje kan op acht verschillende manieren in de driehoek geplaatst worden zonder dat de positie meteen al staakt. Draai- en spiegelsymmetrische posities tellen als één. Met de 'helikopter' als tweede stuk zijn er nog maar negen posities mogelijk die één voor één afvallen. Zacharias concludeert dat het niet mogelijk is om de driehoek te vormen.
Boekenbon
De boekenbon van 100 gulden gaat naar Zacharias Klaasse.
|
