De 33 kinderen van klas 2Bx hebben bij een project tekeningen gemaakt. De tekeningen zijn gemaakt op kleurige vierkante vellen van 30 bij 30 centimeter. In de hal van de school is een van de wanden geschikt om alle 33 tekeningen op te prikken. Hoeveel punaises zijn daarvoor nodig?

Inderdaad, maar één. Maar die manier van opprikken is natuurlijk niet de bedoeling. De tekeningen moeten netjes overzichtelijk aan de wand komen. Ze worden allemaal op de vier hoeken vastgeprikt. Er wordt zo zuinig mogeljik met de punaises omgesprongen; als het kan wordt een punaise voor meerdere tekeningen tegelijk gebruikt.
Nu stellen we de vraag nog een keer: Hoeveel punaises zijn er minimaal nodig?

Prijsvraag

Natuurlijk is het aantal van 33 willekeurig. Wiskundig is het pas interessant als het opprikprobleem algemeen wordt opgelost.

We formuleren de defintieve vraag: Hoeveel punaises heb je nodig om n even grote vierkanten op te prikken? Hier is n een willekeurig natuurlijk getal.

Je kunt de vraag op allerlei manier beantwoorden. Bijvoorbeeld:

• door in woorden te omschrijven hoe je bij n het aantal punaises vindt;
• door een tabel te maken en de regelmaat in die tabel op de een of andere wijze vast te leggen;
• door verschillende gevallen te onderscheiden;
• door middel van een formule (waarschijnlijk heb je hiervoor de entier-functie nodig; vraag je leraar).

Prijzen

Voor de beste individuele inzendingen waren er drie boekenbonnen van 100 gulden. Daarnaast was er een klassenprijs van 250 gulden. Bij het beoordelen van de inzending wordt vooral gelet op de wiskundige kwaliteit van de inzendingen (probeer alle uitspraken te bewijzen!).

Oplossingsmethode

Aangezien iedere poster aan zijn vier hoekpunten moet worden vastgemaakt heb je voor 1 poster uiteraard 4 punaises nodig. De tweede poster kunnen we er dan naast prikken, wat nog eens 2 extra punaises kost. Maar hoe ga je dan verder? In ieder geval heb je weer twee extra punaises nodig om ook de derde poster te kunnen ophangen, zie figuur.
Je kunt voor allebei kiezen, maar als je een vierde poster wilt opprikken, dan ben je in de tweede situatie beter uit! Immers, het kost je dan slechts 1 extra punaise, terwijl je in de eerste situatie twee extra punaises moet gebruiken.

Zoals de meeste inzenders ook aangeven, lijken we voor het ophangen van de posters in de vorm van een vierkant de minste punaises nodig te hebben. Natuurlijk is dit alleen maar mogelijk als we 1,4,9,16,... posters hebben. In de andere gevallen moeten we uitgaan van een zo groot mogelijk vierkant, en de rest van de posters zo handig mogelijk aan de zijkant plaatsen, zie figuur.
In deze figuur zijn we uitgegaan van een 3 bij 3 vierkant, waaraan we nog drie posters hebben toegevoegd. Als we nog meer posters willen ophangen, dan gaan we verder als in de derde figuur.

Nu is er weer een vierkant ontstaan, waar we weer volgens dezelfde procedure mee door kunnen gaan. Zo vinden we dat voor 33 posters minstens 46 punaises nodig zijn.

De algemene oplossing

Het echte probleem was het vinden van een formule voor een willekeurig aantal posters, zeg n. In het geval dat n een kwadraat is, is het antwoord duidelijk: er zijn X punaises nodig! Maar wat als n geen kwadraat is? Als we onze eerder besproken opprikmethode volgen, dan zien we dat we eerst een zo groot mogelijk vierkant moeten opprikken, zeg van k² posters. Hiervoor hebben we (k+1)² punaises nodig. Dan blijven er nog m = n - k² posters over, wat er maximaal 2k kunnen zijn. Als nu m tussen 1 en k, dan hebben we voor deze extra posters nog eens 2 extra punaises nodig voor de eerste, en 1 extra voor elke volgende; in totaal m+1 punaises extra. Als m tussen k+1 en 2k dan hebben we zelfs m+2 extra punaises nodig, want voor de (k+1)-ste poster zijn ook 2 extra punaises nodig, voor de overige weer 1. Zie de onderstaande tabel.

n	P(n)	n	P(n)	n	P(n)
1	4	11	19	21	32
2	6	12	20	22	33
3	8	13	22	23	34
4	9	14	23	24	35
5	11	15	24	25	36
6	12	16	25	26	38
7	14	17	27	27	39
8	15	18	28	28	40
9	16	19	29	29	41
10	18	20	30	30	42

Tabel 1 Het aantal benodigde punaises P(n) voor n posters. De functie P(n) springt steeds met 2 na kwadraten en getallen van de vorm k(k+1)

Boekenbonnen

De vier boekenbonnen van 100 gulden waren voor Mark en Petra uit Meppel, Gydeon Wormeester uit Apeldoorn, Zacharias Klaasse uit Lieren en Tim Wouters uit Opwijk (België). De klassenprijs ging naar klas 1G van het Oranje Nassau college uit Zoetermeer.

Wie levert een bewijs?

We zijn ervan uitgegaaan dat de waarden in de tabel inderdaad het minimale aantal punaises beschrijven dat nodig is voor het opprikken van n tekeningen. Een rigoreus bewijs daarvan hebben we echter niet ontvangen. De redactie is daar erg benieuwd naar, dus wie er een gevonden heeft, kan dit naar ons opsturen.