 |
Op zoek naar halfregelmatige veelvlakken door A. K. van der Vegt, Marco Swaen |
|
|
1: Wat zijn halfregelmatige veelvlakken?
2: Hoekensom en hoekensamenstellingen
3: Hoekenwet
4: Burenwet
De hoekensom
Welke halfregelmatige veelvlakken zijn er? Net als bij de Platonische lichamen ligt het voor de hand alle mogelijke hoeksamenstellingen na te gaan.
Omdat het veelvlak convex moet zijn, kunnen er niet willekeurig veel veelhoeken in een hoekpunt bij elkaar komen. Bij het voetbalveelvlak komen bijvoorbeeld twee zeshoeken en een vijfhoek bij elkaar, zie figuur 2. Aan het hoekpunt dragen die twee zeshoeken ieder 120° bij, de vijfhoek nog eens 108°. In totaal zijn de vlakke hoeken in het hoekpunt dus 348°. Dit getal noemen we de hoekensom. Het verschil van de hoekensom en 360° noemen we het hoektekort. In figuur 3 zie je de hoekensom en het hoektekort van het voetbalveelvlak. Wil een veelvlak convex zijn, dan moet de hoekensom (in elk hoekpunt) kleiner dan 360° zijn.
Als de hoekensom precies 360° is, heb je een plat hoekpunt en is geen bijbehorend veelvlak mogelijk. Wel kan er een vlakvulling met die hoeksamenstelling bestaan. Het loont de moeite die vlakvullingen in je zoektocht te betrekken, omdat ze mooi passen bij hun ruimtelijke halfregelmatige verwanten.
De mogelijke hoeksamenstellingen
In een hoekpunt van een halfregelmatig veelvlak komen minstens drie en hoogstens vijf zijvlakken bij elkaar. Betrek je vlakvullingen in het onderzoek, dan is er ook nog een hoeksamenstelling van zes, namelijk 3-3-3-3-3-3. De bijbehorende vlakvulling zie je in figuur 3.
|
Figuur 2: Bij een hoekpunt van het voetbalveelvlak komen twee zeshoeken en een vijfhoek samen. De hoekensom is 348° en het hoektekort is 12°.
|
|
Het is dus zaak alle drie-, vier- en vijftallen veelhoeken op te sporen die een hoekensom opleveren van hoogstens 360°. Daartoe zouden we een lijst willen aanleggen van drie-, vier- en vijftallen natuurlijke getallen n1, n2, ..., nk met k = 3, 4, 5 en ni = 3, 4, 5, ... met als voorwaarde dat de bijbehorende hoekensom hoogstens 360° is.
Die voorwaarde laat zich gemakkelijk vertalen in een formule. In een regelmatige n-hoek zijn de hoeken namelijk ieder ((n-2) · 180°) / n. Dat de bijbehorende hoekensom niet te groot is, betekent dus dat
[ (n1 - 2) / n1 +
(n2 - 2) / n2 +
··· +
(nk - 2) / nk ] · 180° < 360°.
(of natuurlijk gelijk aan 360° voor een vlakvulling).
Het bespaart veel moeite in de lijst te werken met rijtjes getallen van groot naar klein, dus met de extra voorwaarde
n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_k
Als eenmaal duidelijk is dat een bepaald rijtje mogelijk geschikt is, dan kun je de verschillende hoeksamenstellingen die erbij horen, uitproberen.
|
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | next
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
veelvlakken |
|
|
Het thema van de jaargang 2002-2003 van Pythagoras is "Veelvlakken". Hier vind je een aantal van de artikelen die speciaal over dat thema geschreven zijn.
|
| |
|
|
|
