|
Het bespaart veel moeite in de lijst te werken met rijtjes getallen van groot naar klein, dus met de extra voorwaarde
n1 > n2 > ··· > nk
Als eenmaal duidelijk is dat een bepaald rijtje mogelijk geschikt is, dan kun je de verschillende hoeksamenstellingen die erbij horen, uitproberen.
De beoogde lijst is in deze vorm eindeloos, maar vanaf een zeker punt gemakkelijk af te kappen. Want naarmate het aantal hoekpunten van de zijvlakken groter wordt, worden de afzonderlijke hoeken groter en blijven er minder mogelijkheden over. Je zult zien dat vanaf zeg n1 = 12 het altijd weer dezelfde combinaties zijn, die óf overduidelijk niets opleveren, óf horen bij veelvlakken van een heel overzichtelijk bouwschema.
Evengoed gaat het nog om een aanzienlijk aantal combinaties, ook onder de n1 = 12. Twee principes kunnen je helpen flink in de lijst te schrappen, zodat er een acceptabel aantal kandidaten overblijft. Die twee principes hebben we de 'hoekenwet' en de 'burenwet' gedoopt.
|
Figuur 3: Een vlakvulling met gelijkzijdige driehoeken: in elk hoekpunt komen zes driehoeken bij elkaar.
|
De hoekenwet
We hebben het hoektekort d gedefinieerd als het verschil van de hoekensom en 360°. In het artikel 'De formule van Euler' (Pythagoras, oktober 2002) wordt uitgelegd dat het totale hoektekort voor veelvlakken zoals wij die hier bestuderen, altijd 720° is. Bij halfregelmatige veelvlakken is het hoektekort in elk hoekpunt gelijk, zodat geldt:
d × h = 720°
waarbij h staat voor het aantal hoekpunten. Deze formule noemen we de hoekenwet voor halfregelmatige veelvlakken. Met deze wet kun je snel berekenen hoeveel hoekpunten het halfregelmatige veelvlak bij een gegeven hoeksamenstelling zou moeten hebben. Het hoektekort bij 6-6-5 is 12°, dus het voetbalveelvlak zou 720/12 = 60 hoekpunten moeten hebben, en dat is inderdaad zo.
Bij veel hoeksamenstellingen kom je op een hoektekort uit, dat niet deelbaar is door 720. Het bijbehorende veelvlak zou dan een gebroken aantal hoekpunten moeten hebben, wat uiteraard niet mogelijk is. De betreffende combinaties kun je dus uit de lijst van kandidaten schrappen.
|
