De burenwet

Veel combinaties vallen alsnog af op het moment dat je het betreffende veelvlak in elkaar probeert te zetten. Dat gebeurt vaak bij veelhoeken met een oneven aantal hoekpunten.
Neem bijvoorbeeld het drietal 8, 7, 4. Op grond van het hoektekort zou 8-7-4 kunnen horen bij een veelvlak met 56 hoekpunten. We proberen dit 56-hoekige veelvlak in elkaar te zetten. We beginnen met een zevenhoek, met hoeken A, B, C, D, E, F, G, H. In punt B leggen we een vierkant en een achthoek aan, zeg, we leggen het vierkant aan de ribbe AB en de achthoek aan de ribbe BC, zie figuur 5a. In punt C moeten we weer een achthoek en een vierkant hebben. De achthoek ligt er al, dus we leggen aan de ribbe CD een vierkant. Als we zo doorgaan, komen er om de zevenhoek afwisselend vierkanten en achthoeken te liggen. Maar omdat de zevenhoek een oneven aantal zijden heeft, komen er in punt A twee vierkanten, in plaats van een vierkant en een achthoek, zie figuur 5b. Hiermee krijgt punt A een hoeksamenstelling van 7-4-4, in plaats van 8-7-4.

In het algemeen geldt: als in een hoeksamenstelling een n-hoek zit, waarbij n oneven is, dan kan die n-hoek niet twee verschillende buren hebben. Dit principe noemen we de burenwet. Op grond van deze wet kun je vele combinaties schrappen, zoals alle combinaties van de vorm a, b, 3 met a ≠ b, beide ongelijk aan 3.

Figuur 4a en 4b: Om een zevenhoek worden afwisselend vierkanten en achthoeken gelegd, maar één punt kan geen twee verschillende buren hebben.

Meer informatie is te vinden in Regelmaat in de ruimte van A.K. van der Vegt, ISBN 90-407-1274-3 Delft Univerity Press.
Op 15 april 2002 overleed A.K. van der Vegt.