1: ½n(n+1)
2: Volledige inductie
3: Een bewijs met volledige inductie
4: Een bewijs zonder volledige inductie
5: Opgaven
6: Oplossingen
Volledige inductie
Er bestaat een techniek die het mogelijk maakt de formule in één klap voor alle getallen tegelijk te bewijzen. Deze techniek wordt natuurlijke of volledige inductie genoemd en doet met getallen hetzelfde als met de domino-stenen gebeurde.
Voor deze methode hoef je de formule maar voor één geval te controleren, namelijk voor n=1. Verder moet je het domino-effect aantonen. Dit houdt in dat je van een bewijs van de formule voor een bepaald getal een bewijs kunt maken voor het volgende getal.
Het bewijs van de formule voor een bepaald getal kun je je voorstellen als een omgevallen dominosteen. Het domino-effect garandeert dat als de formule voor een bepaald getal 'omgevallen is', de formule ook 'omvalt' voor het volgende getal.
Als je n=1 gecontroleerd hebt, heb je de eerste steen omgegooid. Met het domino-effect volgt dan ook de tweede steen, de derde steen, enzovoort. Het domino-effect zorgt er voor dat als de formule 'omgevallen is' voor het lint van alle getallen tot en met de n-de steen, de formule ook omvalt voor de (n+1)-ste steen. Zodoende weet je dan zeker dat de formule 'omvalt' voor alle getallen.
Een voorbeeld
Met volledige inductie gaan we de volgende formule voor 1+2+3+4+...+n bewijzen:
Daarvoor moeten we twee dingen doen:
- De formule bewijzen voor n=1.
- Het domino-effect aantonen.
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
