1: ½n(n+1)
2: Volledige inductie
3: Een bewijs met volledige inductie
4: Een bewijs zonder volledige inductie
5: Opgaven
6: Oplossingen
Het bewijs
1. Voor n=1 is de formule eenvoudig:
De eerste steen is omgevallen.
2. In de volgende stap van het bewijs moeten we aantonen dat als de formule waar is voor het getal n, de formule ook waar is voor het volgende getal n+1.
Stel dus dat de formule klopt voor het getal n. Men noemt deze veronderstelling de inductieveronderstelling:
Let op: de formule geldt hier voor slechts één bepaalde n (en niet voor alle n).
Nu volgt:
Hier staat de formule die we wilden bewijzen, alleen staat nu op de plaats van de n het getal n+1. Met andere woorden: als de formule opgaat voor n, dan gaat hij ook op voor n+1.
Omdat we de formule waar is voor n=1, is hij nu ook waar voor n=2. En omdat hij waar is voor n=2, is hij ook waar voor n=3. En daarom ook voor n=4, enzovoort. Met behulp van het
domino-principe volgt dus dat de formule waar is voor alle getallen 1, 2, 3, 4, ...
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
