1: ˝n(n+1)
2: Volledige inductie
3: Een bewijs met volledige inductie
4: Een bewijs zonder volledige inductie
5: Opgaven
6: Oplossingen
Oplossingen van de opgaven
Opgave 1. In de eerste opgave moeten we aantonen dat voor alle n = 1,2,3,... de volgende formule geldt:
Voor n=1 is de formule eenvoudig:
13 = 1
en
Nu de inductiestap. Stel dat de formule waar is voor n. Dan tonen we nu dat hij ook waar is voor n+1.
In de tweede stap hebben we gebruik gemaakt van de inductieveronderstelling. Omdat de formule waar is voor n=1 en de inductiestap ook bewezen is, geldt de formule voor alle n.
Opgave 2. In de tweede opgave moeten we aantonen dat voor alle n = 1,2,3,... geldt:
32n+1 + 2n-1 is deelbaar door 7.
Stel n=1 dan volgt:
en
Dus voor n=1 is de bewering waar.
Nu de inductiestap. Stel dat de formule waar is voor n. Dan tonen we nu dat ie ook waar is voor n+1.
De eerste term van de laatste uitdrukking is deelbaar door 7, de andere term van die uitdrukking is volgens de inductieveronderstelling ook deelbaar door 7. Maar dan is de laatste uitdrukking en daarmee dus ook de eerste deelbaar door 7. Dus de formule geldt ook voor n+1.
Omdat de formule waar is voor n=1 en de inductiestap ook bewezen is, geldt de bewering van opgave 2 voor alle n.
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
|
