Bij het kleuren van de landkaart doet de precieze vorm van de grenzen er feitelijk niet toe, het gaat er alleen om welk land aan welk land grenst. Ga daarom uit van de punten waar meerdere landen bij elkaar komen en vereenvoudig de grenslijnen verder tot verbindingslijntjes. Op die manier krijgen we een vlakke graaf, met hoekpunten en ribben. De gebieden die aldus door de ribben van elkaar gescheiden worden, zijn de landen van de kaart. Let op dat ook het buitengebied meegerekend moet worden als land, de kaart stelt immers eigenlijk het oppervlak van een bol voor.
Op de wereldkaart komen landen voor die uit meerdere gebiedsdelen bestaan. Wil je alle gebiedsdelen van zo'n land dezelfde kleur geven, dan kun je niet meer toe met vier kleuren. Bij onze kaarten zijn de landen dus steeds één aaneengesloten gebied van de graaf.
We mogen ervan uit gaan dat op onze kaarten een land nooit helemaal in een ander land ligt (bijvoorbeeld San Marino in Italië). Zulke landen hebben toch maar één buurland, dus kunnen achteraf gemakkelijk ingevoegd worden en gekleurd. Het is ook voldoende, zoals Cayley inzag, alleen te kijken naar landkaarten met uitsluitend drielandenpunten. Stel dat je een kaart wilt kleuren met daarin bijvoorbeeld een vierlandenpunt. Leg dan eerst over dat punt een klein extra landje waardoor er alleen nog drielandenpunten over zijn. Kleur die kaart met vier kleuren. Laat vervolgens het extra landje weer inkrimpen tot een hoekpunt, en de oorspronkelijke kaart is ook netjes gekleurd met vier kleuren. In figuur 1 zie je hoe het werkt bij een zeslandenpunt.

Figuur 1 Oplossen van een zeslandenpunt