Neem een vlakke graaf, tel het aantal zijvlakken (inclusief het buitengebied), het aantal hoekpunten en het aantal ribben (respectievelijk z, h en r), dan zie je dat geldt:

Deze betrekking staat bekend als de veelvlakkenformule van Euler, een bewijs ervan vind je bijvoorbeeld in het decembernummer van onze vorige jaargang.
Zeg dat de kaart bestaat uit c₂ tweehoeken (land omsloten door twee ribben), c₃ driehoeken, enzovoorts, tot en met c_k k-hoeken. Dan geldt voor het aantal zijvlakken (landen):

Het aantal ribben kun je tellen vanuit de zijvlakken, elke n-hoek levert n ribben, die allemaal wel weer gedeeld worden met een buurland. Vandaar:

Omdat we ervan uit mogen gaan dat de kaart alleen drielandenpunten kent, geldt ook:

Combineer deze drie verbanden met de formule van Euler, dan krijg je de zogenaamde telformule:

Onvermijdelijke set

Uit de telformule volgt dat ten minste één van de getallen c₂, c₃, c₄ of c₅ groter is dan 0. Dit betekent dat elke kaart ten minste één tweehoek, één driehoek, één vierhoek of één vijfhoek moet bevatten. Het setje {tweehoek, driehoek, vierhoek, vijfhoek} wordt daarom een onvermijdelijke set genoemd, zie figuur 2.
Het begrip onvermijdelijke set (straks komen we een andere onvermijdelijke set tegen) speelt in de oplossing van het vierkleurenprobleem een belangrijke rol. In de simpelste onvermijdelijke set gaat het om landen met een bepaald aantal buren. In ingewikkeldere sets kan het ook gaan om groepjes landen, bijvoorbeeld 'een vijfhoek met een aangrenzende zeshoek'. Het algemene woord voor zo'n element in de kaart - een land of een bepaalde combinatie van landen - is 'configuratie'.

Figuur 2 De onvermijdelijke set {tweehoek, driehoek, vierhoek, vijfhoek}