Kempe was de eerste die zijn bewijs opzette vanuit het reduceren van de configuraties van een onvermijdelijke set. De termen 'reduceren' en 'onvermijdelijke set' zijn overigens niet van hem, maar zijn pas later in zwang geraakt.
Neem een kleinste tegenvoorbeeld (vijf kleuren nodig) en beschouw de twee-, drie-, vier- of vijfhoek die er onvermijdelijk ergens in moet zitten.
Bevat de kaart een tweehoek of een driehoek, dan is het simpel: laten verdwijnen, de overblijvende kaart kleuren met vier kleuren (dat kan met een land minder), laten verschijnen en er is altijd een vierde kleur om de twee- of driehoek te kleuren. De configuraties tweehoek en driehoek zijn dus reduceerbaar.
Voor de vierhoek lukt dit niet meer, want de vierhoek kan omgeven zijn door vier landen met ieder een eigen kleur, zeg met rood (r), blauw (b), groen (g) en paars (p), zie figuur 3 (boven). Neem nu alle rode en groene landen die aan het rode land boven en aan het groene land onder aan de vierhoek vastzitten. Er zijn nu twee mogelijkheden. Of deze twee takken zijn niet met elkaar verbonden, zie figuur 3 (links), of zij zijn wel met elkaar verbonden, zie figuur 3 (rechts).
Figuur 3 Het 'bewijs' van Kempe: twee mogelijkheden los/vast
Zo niet, dan kan elk groene land boven rood gekleurd worden en elk rode groen. De vierhoek heeft dan drie kleuren om zich heen (groen, blauw, groen, paars) en kan dus rood gekleurd worden, zie figuur 4. Zo ja, dan is er dus een 'weg', een Kempe-keten, linksom of rechtsom, waarlangs het rode land boven verbonden is (via rood, groen, rood, groen, enzovoorts) met het groene land onder. Een verwisseling van kleuren heeft dan geen zin, omdat het laatste land door de vier kleuren begrensd blijft. Maar dan is het wel zo, dat er geen verbonden weg (blauw, paars, blauw, paars, enzovoorts) van het blauwe land rechts met het gele land links kan zijn. We kunnen dus rechts een kleurverwisseling toepassen op blauw-paars. Het laatste land is dan omgeven door drie kleuren (rood, geel, groen, paars) en kan dus blauw gekleurd worden, zie figuur 5.

Figuur 4 Reductie van vierhoek 'los'

Figuur 5 Reductie van vierhoek 'vast'

Tenslotte nam Kempe de vijfhoek en bracht met twee kleurveranderingen en twee ketens tegelijkertijd het aantal aangrenzende kleuren terug tot drie, waarmee hij het vierkleurenprobleem dacht opgelost te hebben.
In 1890 toonde Percy Heawood aan dat in het geval met vijf aangrenzende landen er niet altijd twee kleurwisselingen tegelijkertijd uitgevoerd kunnen worden. Toch is de Kempe-ketenmethode van grote waarde gebleven bij al het latere onderzoek. Heawood trouwens gebruikte Kempes methode om aan te tonen dat elke kaart in elk geval wel gekleurd kan worden met vijf kleuren. (Zijn bewijs kun je vinden in het artikel 'Veelvlakken kleuren' in Pythagoras van februari 2003.)