Figuur 4

Stel nu dat iemand voor ons een reguliere kaart op de torus tekent. Kunnen we die dan kleuren met 7 kleuren? We tellen eerst hoeveel landen, ribben en hoekpunten de kaart heeft. Het aantal landen ('zijvlakken') noemen we Z, het aantal ribben R en het aantal hoekpunten H. Als ik dit doe bij de kaart in figuur 2, dan vind ik Z = 7, R = 21 en H = 14, en je ziet dat

Z - R + H = 0.

Deze formule staat bekend als de formule van Euler voor de torus. De formule is geldig voor iedere kaart op de torus. Als je de moed kunt opbrengen, moet je dit maar eens controleren bij de kaart in figuur 4. De kaart die we proberen te kleuren is regulier. Dat betekent dat in ieder hoekunt 3 ribben samenkomen. Dat geeft 3H ribben. Maar hierbij wordt iedere ribbe 2 keer geteld, want iedere ribbe verbindt 2 hoekpunten. Dus 3H = 2R. Dit stoppen we in de formule van Euler; er komt

3Z = 3R - 3H = R.

We beweren nu: In onze kaart is er een land met ten hoogste 6 ribben, en dus ten hoogste 6 buren. We bewijzen dit uit het ongerijmde. Zou ieder land ten minste 7 ribben hebben, dan krijgen we ten minste 7Z ribben, waarbij iedere ribbe 2 keer geteld wordt (want iedere ribbe behoort tot 2 landen). We vinden 2R >= 7Z; maar dat is in strijd met het eerdere resultaat R = 3Z. Daarmee is het bewijs van de bewering voltooid.

Figuur 5

Zeven kleuren volstaan

Om te bewijzen dat je onze kaart kunt kleuren met 7 kleuren, gaan we als volgt te werk. Iedere kaart met ten hoogste 7 landen kunnen we kleuren met 7 kleuren; dat is geen kunst. Dan gaan we alle kaarten met 8 landen kleuren, vervolgens alle kaarten met 9 landen, enzovoort. Iedere keer gaat dat op dezelfde manier, en ik zal nu vertellen hoe dat gaat. Ik neem aan dat ik iedere kaart op de torus met ten hoogste k landen gekleurd heb en dat ik nu een kaart met k+1 landen voor me heb liggen. Ik zoek nu in die kaart een land met ten hoogste 6 buren; er is net bewezen dat zo'n land er is. Hoe ik nu verder ga kun je zien in figuur 5. Ik trek dat land met ten hoogste 6 buren eerst samen tot één punt en maak vervolgens de kaart weer regulier. De kaart rechts heeft nu één land minder dan de gegeven kaart, dus k landen. Die kaart is al gekleurd met 7 kleuren. Ik breng die kleuring over naar de gegeven kaart en kleur het binnenste land met de zevende kleur. Klaar: iedere kaart op de torus kan gekleurd worden met ten hoogste 7 kleuren.