 |
Het kleuren van kaarten door Jan Aarts |
|
|
1: Kaarten op de torus
2: De formule van Euler
3: Andere oppervlakken
 |
| Figuur 6 |
Andere oppervlakken
En hoe zit het nu met andere oppervlakken? In figuur 6 is een kaart op de Möbiusband getekend. Als je goed kijkt, dan zie je dat je 6 kleuren nodig hebt om deze kaart te kleuren. En je kunt bewijzen dat iedere kaart op de Möbiusband gekleurd kan worden met ten hoogste 6 kleuren. Precies hetzelfde resultaat vind je voor het projectieve vlak en de fles van Klein. Voor de krakeling, dat is een bol met twee hengsels, blijken 8 kleuren nodig te zijn.
Het onderzoek naar het kleuren van kaarten op oppervlakken gaat terug tot het artikel Map Colour Theorem dat P.J. Heawood in 1890 publiceerde in het Quarterly Journal of Mathematics. Van hem zijn de eerste formules en resultaten, bijvoorbeeld de resultaten voor de torus die we hier besproken hebben. Het duurde enige tijd voor men in de gaten kreeg dat er een lacune in de bewijzen zat. Het resultaat voor de fles van Klein bijvoorbeeld is gevonden door Philip Franklin in 1934. Het duurde tot 1968 voordat de bewijzen helemaal in orde waren. Dit alles kun je vinden in het boek Map Colour Theorem van Gerhard Ringel. Het boek opent met een spannend verslag van de dag waarop het bewijs door Ringel en Ted Youngs werd voltooid.
Over de formule van Euler voor sferische veelvlakken schreef J.M. Aarts een artikel in Pythagoras, december 2002.
Over het kleuren van sferische veelvlakken schreef Dion Gijswijt een artikel in Pythagoras, februari 2003.
prev | 1 | 2 | 3
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
topologie |
|
|
In het schooljaar 2004-2005 staat Pythagoras in het thema van de topologie. Kun je je T-shirt uittrekken terwijl je je jas aanhoudt? Wat krijg je als je een fietsband binnenstebuiten keert? En hoeveel kleuren heb je nodig om een landkaart op die fietsband te kleuren? Op deze en vele andere vragen zoeken we dit jaar het antwoord.
|
| |
|
| Gerelateerde artikelen | | 'Vier kleuren is voldoende', zegt de computer
Teken een landkaart, kleur de landen zó dat buurlanden nooit dezelfde kleur hebben, en gebruik daarbij zo min mogelijk kleuren. Je zult zien dat je aan vier kleuren genoeg hebt. Maar hoe bewijs je dat? Dat is kortgezegd het vierkleurenprobleem, waar inmiddels 150 jaar aan gewerkt is en dat vele bewijzen opgeleverd heeft waar echter altijd iets op aan te merken viel. Het eerste bewijs waar nog geen fout in ontdekt is, stamt uit 1976. Het is zo omvangrijk en ingewikkeld dat het alleen met een computer geleverd en gecontroleerd kan worden. |
|
|
