 |
De vorm van de ruimte door Marco Swaen (illustraties), Roland van der Veen |
|
|
1: Inleiding
2: Het vermoeden, lagere dimensies
3: Lijnlanders en Platlanders
4: Verkenningstochten
5: Ruimtelanders
6: De 3-torus
Poincaré-vermoeden: als alle wegen met hetzelfde begin- en eindpunt met elkaar verwant zijn en de ruimte is gesloten, dan heeft de ruimte de vorm van een 3-sfeer.
De begrippen 'verwante wegen', 'gesloten' en '3-sfeer' leggen we verderop uit. Toch zie je waarschijnlijk wel dat het vermoeden een manier aangeeft om in het geval van een '3-sfeer' van binnenuit te ontdekken in wat voor ruimte je zit.
Lagere dimensies
Om te begrijpen wat het Poincaré-vermoeden betekent, onderzoeken we eerst 'platte ruimten', zoals het (aard)boloppervlak, waar we wél van buitenaf bovenop kunnen kijken. Om de parallel te blijven zien met de ruimte om ons heen, moeten we het boloppervlak, of welke andere 'platte ruimte' dan ook, steeds beschouwen als een ruimte op zichzelf. Zie die ruimte maar als een platte schil waarbinnen kleine platte wezentjes leven die hun 'ruimte' zien als een platte vlakte met maar twee echt verschillende richtingen: voor/achter en links/rechts. Deze wezentjes, de platlanders, hebben er geen weet van dat hun wereld eigenlijk een boloppervlak is in een driedimensionale ruimte. De begrippen 'boven' en 'onder' zijn voor hun totaal niet voorstelbaar. Zo leven wij zelf namelijk ook in onze ruimte met het idee dat er drie richtingen zijn (boven/onder is de derde) zonder een voorstelling of zelfs maar woorden voor een mogelijke vierde richting.
Het aantal onafhankelijke richtingen binnen een ruimte heet de dimensie van die ruimte. Onze eigen ruimte heeft drie dimensies en het oppervlak van een bol maar twee. (Anders dan in het normale spraakgebruik, waarin een boloppervlak wel driedimensionaal wordt genoemd, gaat het in dit stuk steeds over wat je van binnen de ruimte ziet en in het geval van de bol is dat een vlakte, iets tweedimensionaals dus.) Als we over een ruimte praten, dan bepaalt de dimensie precies hoe die ruimte er van binnen voor zijn bewoners uitziet, namelijk 'plat' in het geval van de bol en 'zoals we het kennen' in onze eigen ruimte. Maar wat de vorm van de ruimte in zijn geheel is, ligt hierdoor nog niet vast.
 Figuur 1 - Een torus en twee krakelingen
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
vermoedens |
|
|
In het schooljaar 2005-2006 is het thema van Pythagoras 'onbewezen vermoedens in de wiskunde'.
|
| |
|
|
|
