 |
De vorm van de ruimte door Marco Swaen (illustraties), Roland van der Veen |
|
|
1: Inleiding
2: Het vermoeden, lagere dimensies
3: Lijnlanders en Platlanders
4: Verkenningstochten
5: Ruimtelanders
6: De 3-torus
Lijnlanders
In een ééndimensionale ruimte kun je als bewoner maar één richting op, namelijk naar voren (of naar achteren). Er valt dus niet veel te zien en elkaar inhalen is onmogelijk. Hoewel de ruimte er overal plaatselijk uitziet als een lijn, betekent dit nog niet dat de ruimte in zijn geheel ook een onbegrensde lijn is. Het zou ook een cirkel kunnen zijn, want plaatselijk is er geen verschil tussen een lijn en een cirkel. Van binnenuit is de enige manier om hier achter te komen steeds rechtdoor te lopen en te kijken of je vanzelf weer terugkomt waar je begon.
Omdat het erom gaat wat 'lijnlanders' binnenin zien, heeft het geen zin om een ovale, een driehoekige of een cirkelvormige ruimte uit elkaar te houden. In het algemeen zullen we steeds alle ruimten die als elastiekjes opgevat hetzelfde zijn, als hetzelfde beschouwen. Anders gezegd: we kijken door de bril van de topologie ('rubbermeetkunde', het thema van de vorige jaargang van Pythagoras). We hebben zojuist al alle mogelijke ééndimensionale ruimten beschreven. De aanname dat de ruimte er op alle plaatsen uitziet als een lijn, laat topologisch gezien geen andere globale vormen toe dan een cirkel of een onbegrensde lijn.
Platlanders
Voor tweedimensionale ruimten blijkt veel meer mogelijk, zoveel zelfs dat we ons vanaf nu beperken tot \emph{gesloten} ruimten. Dit zijn ruimten waar je niet oneindig ver van je startpunt kunt komen. In de formulering van het Poincaré-vermoeden hierboven gingen we ook uit van een ruimte die gesloten was. Andere voorbeelden van gesloten ruimten zijn de (ééndimensionale) cirkel en het (tweedimensionale) boloppervlak. Die zijn in zichzelf gesloten, zodat je onmogelijk oneindig ver van huis kunt komen. In een ruimte die bestaat uit een oneindig vlak, kan dit uiteraard wel gebeuren.
Naast het boloppervlak zijn er nog veel meer gesloten tweedimensionale ruimten, bijvoorbeeld de torus. Dat is het oppervlak van een ring of een zwemband, zie figuur 1.
Ook krakelingen, oppervlakken met meer dan één gat, zijn mogelijk. De precieze vorm van de ruimte maakt niet uit. Hier gaat het er namelijk om hoe de platlanders die op zo'n oppervlak leven, hun ruimte zouden beschrijven. De gaten, die wij van buitenaf zien, kunnen de platlanders niet waarnemen. Zij kunnen zich de gaten zelfs niet voorstellen, omdat die buiten hun platte ruimte liggen. August Möbius heeft bewezen dat we zojuist álle mogelijke gesloten tweedimensionale ruimten hebben beschreven: het zijn of bollen of krakelingen (zie ook Pythagoras 44-3 (januari 2005)).
 Figuur 2 - Paden op de bol en de torus
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
vermoedens |
|
|
In het schooljaar 2005-2006 is het thema van Pythagoras 'onbewezen vermoedens in de wiskunde'.
|
| |
|
|
|
