 |
De vorm van de ruimte door Marco Swaen (illustraties), Roland van der Veen |
|
|
1: Inleiding
2: Het vermoeden, lagere dimensies
3: Lijnlanders en Platlanders
4: Verkenningstochten
5: Ruimtelanders
6: De 3-torus
Verkenningstochten
De vraag die we uiteindelijk voor onze eigen ruimte willen beantwoorden, is hoe je er van binnenuit achter komt wat de vorm van de ruimte is. Platlanders kunnen het antwoord op deze vraag vinden door systematisch door hun ruimte te lopen en hun paden te markeren.
Laten we eerst kijken hoe ze op zo'n manier een bol van een torus kunnen onderscheiden, zie figuur 2. In beide ruimten onderzoeken we hoe je van een startpunt S naar een eindpunt E kunt lopen. Van buitenaf is het makkelijk te zien dat er op de torus veel echt verschillende paden van S naar E mogelijk zijn, terwijl op de bol alle paden van S naar E met elkaar verwant zijn. Met verwante paden bedoelen we paden die geleidelijk in elkaar over kunnen gaan, zoals bij een elastiekje, maar natuurlijk zonder de ruimte (het oppervlak) te verlaten, zie figuur 3. De platlanders op de torus kunnen zélf ontdekken dat er paden van S naar E zijn die niet met elkaar verwant zijn. Ze zullen zelfs oneindig veel niet-verwante windingen vinden rond hun torus. Daarmee weten ze zeker dat ze niet op een bol leven. Als het echt goede wiskundigen zijn, kunnen ze na zo'n onderzoek zelfs beredeneren dat er maar één 'gat' in hun ruimte zit, dus dat ze op een torus en niet op een krakeling leven!
Op dit soort redeneringen baseerde Poincaré ook zijn vermoeden. Hij vroeg zich af of je in de echte ruimte ook zeker weet wat de vorm ervan is als je merkt dat alle wegen met hetzelfde begin- en eindpunt met elkaar verwant zijn. We zullen zien dat er in elk geval één gesloten ruimte is waarin alle wegen met elkaar verwant zijn, namelijk de 3-sfeer. Poincarés vermoeden is dus dat de 3-sfeer de enige gesloten ruimte is met deze eigenschap, net als het boloppervlak (dat je ook wel de 2-sfeer zou kunnen noemen) dat is bij de tweedimensionale gesloten ruimten.
 Figuur 3 - Verwante paden
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
vermoedens |
|
|
In het schooljaar 2005-2006 is het thema van Pythagoras 'onbewezen vermoedens in de wiskunde'.
|
| |
|
|
|
