 |
De vorm van de ruimte door Marco Swaen (illustraties), Roland van der Veen |
|
|
1: Inleiding
2: Het vermoeden, lagere dimensies
3: Lijnlanders en Platlanders
4: Verkenningstochten
5: Ruimtelanders
6: De 3-torus
Ruimtelanders
Nu zijn wij zelf de platlanders, of liever gezegd, de ruimtelanders. We weten alleen hoe het is om binnen onze ruimte te zijn, maar dat vertelt ons weinig over de vorm van de ruimte zelf. De beste manier om toch een voorstelling te krijgen van zulke driedimensionale ruimten, zoals de 3-sfeer, is door er kaarten van te maken.
In figuur 4 staan boven bekende kaarten van de wereld, en beneden kaarten van de 3-sfeer. Reizen we van Europa zuidwaarts naar de evenaar, dan weten we dat we daarna vanzelf in het zuidelijk deel van Afrika op de andere kaart uitkomen. We stellen ons dus voor dat de kaarten van het noordelijk en het zuidelijk halfrond (dat zijn twee cirkelschijven) langs hun randen (de evenaar) aan elkaar vastzitten, zodat ze samen de hele globe vormen. Net zo, maar dan met één dimensie meer, moeten we de kaarten van de 3-sfeer lezen. Deze bestaan niet uit twee schijven, maar uit twee massieve bollen die de rol van noordelijk en zuidelijk halfrond spelen. De oppervlakken van de twee bollen zitten weer aan elkaar vast en spelen dus de rol die de evenaar op de globe heeft. Binnen de bollen kun je vrij heen en weer lopen of vliegen. Het ziet er daar heel vertrouwd driedimensionaal uit, zeker als je heel klein bent ten opzichte van de grootte van de bollen.
Hoewel we ons niet direct kunnen voorstellen hoe de 3-sfeer er als geheel uitziet, hebben we zo toch een aardig beeld. De 3-sfeer is de driedimensionale versie van het boloppervlak, zoals de bol weer de tweedimensionale versie van de cirkel is. Op de twee kaarten van de 3-sfeer kunnen we bijvoorbeeld duidelijk zien dat de 3-sfeer net als de bol gesloten is, want je kunt niet oneindig ver wegkomen van je beginpunt. Bovendien zijn alle paden tussen twee punten binnen de 3-sfeer met elkaar verwant. Om dit in te zien, redeneren we als volgt. Voor twee paden die helemaal binnen dezelfde kaart (massieve bol) liggen, is het duidelijk. Liggen de paden niet binnen één bol, dan kunnen we altijd twee andere kaarten van de 3-sfeer maken waarvoor dit wél het geval is. Het is namelijk niet wezenlijk dat je de 3-sfeer precies langs een 'evenaar' in twee kaarten knipt. Je kunt één kaart zo klein maken dat die helemaal buiten de twee gegeven paden ligt. De andere kaart bevat dan automatisch de paden allebei, en binnen die kaart kun je ze dus in elkaar vervormen.
 Figuur 4 - Kaart van de 2-sfeer (boloppervlak) en van de 3-sfeer
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | next
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
vermoedens |
|
|
In het schooljaar 2005-2006 is het thema van Pythagoras 'onbewezen vermoedens in de wiskunde'.
|
| |
|
|
|
