 |
De vorm van de ruimte door Marco Swaen (illustraties), Roland van der Veen |
|
|
1: Inleiding
2: Het vermoeden, lagere dimensies
3: Lijnlanders en Platlanders
4: Verkenningstochten
5: Ruimtelanders
6: De 3-torus
De 3-torus
Ook de torus heeft een driedimensionaal broertje, de 3-torus, die we in figuur 5 in kaart hebben gebracht (op dezelfde manier als de 2-torus). De rechthoek is een kaart van de gewone torus zoals platlanders die zouden kunnen maken. De bedoeling is dat eerst de lange zijden aan elkaar geplakt worden. Je krijgt dan een cilinder waarvan de uiteinden gevormd worden door de overgebleven zijden. Plak je die ook aan elkaar, dan krijg je inderdaad een torus. Veel oude computerspelletjes speelden zich dus af op een torus, want daar kwam je beneden weer terug als je boven het scherm verliet en net zo voor opzij.
De kaart voor de 3-torus werkt op dezelfde manier: we nemen nu een driedimensionale rechthoek, dat wil zeggen een blok, en plakken boven aan onder, links aan rechts en achter aan voor. Stel dat je kamer een 3-torus was, dan ging de linker muur over in de rechter muur, als je recht naar voren kijkt zie je je rug, en een kraai die door de vloer vliegt komt door het plafond weer tevoorschijn, zie figuur 6.
Uit Poincarés vermoeden volgt dat er paden in de 3-torus moeten zijn met een gelijk begin- en eindpunt die niet met elkaar verwant zijn. Maar dat zie je ook direct, want net als bij gewone torus zit er een onzichtbaar gat in de 3-torus waar je paden omheen kunt winden. Denk bijvoorbeeld aan een pad dat door het plafond naar boven verdwijnt en dus via de vloer weer tevoorschijn komt, en dan weer bij het beginpunt eindigt.
Hoewel willekeurige driedimensionale ruimten erg moeilijk voorstelbaar zijn, is het verrassend dat er bij zo'n ruimte wel altijd kaarten te maken zijn. Deze kaarten lijken erg op die van de 3-sfeer, maar nu met twee massieve krakelingen in plaats van bollen. Helaas zijn deze kaarten niet gemakkelijk te lezen, omdat hun oppervlakken meestal op buitenissige manieren aan elkaar geplakt zijn.
Een van de dingen die het Poincaré-vermoeden zo moeilijk maken, is dat paden hopeloos in de knoop kunnen raken en nog erger, dat de ruimte zelf 'geknoopt' kan zijn. Het begrip 'knoop' is typisch voor drie dimensies: in één of twee dimensies bestaan geen knopen, omdat er niet genoeg ruimte is om een knoop te leggen. In vier of meer dimensies blijkt er te veel ruimte te zijn om een knoop nog vast te kunnen trekken en dan bestaan er dus ook geen knopen. De vier- of meer dimensionale versie van het Poincaré-vermoeden is daarom wél bewezen.
 Figuur 5 - Kaart van de 2-torus en van de 3-torus
prev | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
|
|
|
pythagoras op papier |
|
|
laatste nummer • vorig nummer • archief • over pythagoras
abonnementen • posters • oude jaargangen • kennismakingsnummer • Van viervlak naar ster
|
|
|
|
vermoedens |
|
|
In het schooljaar 2005-2006 is het thema van Pythagoras 'onbewezen vermoedens in de wiskunde'.
|
| |
|
|
|
