Volmaakt, bevriend en heilig

De pythagoreërs erkenden alleen de gehele positieve getallen (de natuurlijke getallen), alsmede de breuken die daarvan zijn afgeleid. Zij kenden zogeheten 'volmaakte' of 'perfecte' getallen. Een getal heet volmaakt als het gelijk is aan de som van zijn echte delers (dus uitgezonderd het getal zelf). Zo is bijvoorbeeld 6 een volmaakt getal, omdat de som van de echte delers (1, 2 en 3) gelijk is aan 6. Een ander voorbeeld van een volmaakt getal is 28, want 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Zij kenden ook 'bevriende' getallen. Dat zijn twee verschillende getallen waarvan het ene gelijk is aan de som van de echte delers van het andere, en omgekeerd. Bevriende getallen zijn bijvoorbeeld 220 en 284, want de som van de echte delers van 220 is 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, en die van 284 is 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Naast de volmaakte en bevriende getallen bestonden in de gedachtensfeer der pythagoreërs ook 'heilige' getallen. Het getal 10 was een hoogst heilig getal, het symbool van alle harmonie, dat zij 'tetraktys' noemden. Als men elkaar de hand geeft ten teken van vriendschap en trouw, zijn daar 10 vingers bij betrokken. Tijdens de gemeenschappelijke maaltijden zaten de pythagoreërs met z'n tienen aan elke tafel, en elk lid van de orde moest zich 10 jaar lang bezinnen op de tradities en het nakomen van de bestaande wetten binnen de orde, et cetera. Ook rekenkundig vonden zij het getal 10 diepzinnig, omdat het getal 10 verkregen kon worden door optelling van de vier eenvoudigste getallen: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Zij kenden aan de muziek hoge waarde toe en ontdekten, dat de hoofdintervallen bestonden uit verhoudingen, die waren opgebouwd uit de vier eenvoudigste getallen: het octaaf (1 : 2), de kwint (2 : 3) en de kwart (3 : 4). Kortom, het getal 10 was heilig en zelfs heiliger dan de eed der pythagoreërs zelve.

Een ander uitermate heilig getal was 36, vermoedelijk wegens zijn bijna verbluffende rekenkundige eigenschappen: 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. Het aantal termen bedraagt hier het dubbele van het aantal begingetallen waaruit het heilige getal 10 als som is opgebouwd! Verder is 36 = (1 + 2 + 3)², 36 = (1 × 2 × 3)², 36 = 1³ + 2³ + 3³ en 36 = 6 × 6: het kwadraat van het kleinste volmaakte getal! Ook geldt 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 en dat is de som van de eerste 6 (weer een volmaakt getal!) oneven getallen.

Ook de vinger naast de pink van de rechterhand was een heel bijzondere. Die vinger is immers de vierde van de rechterhand en de negende van beide handen, en 4 × 9 = 36. Aan die vinger dient dan ook het symbool van innige verbondenheid, de ring, gedragen te worden. De rechthoekige Poseidontempel, die in Paestum nabij het hoofdkwartier Crotona is gebouwd, heeft aan elke korte zijde 6 en aan elke lange zijde 14 zuilen, dus in totaal 2 × 6 + 2 × 14 - 4 = 36 zuilen, en dat aantal heeft kennelijk met de heiligheid van het getal 36 te maken. Worden de heilige getallen 10 en 36 met elkaar vermenigvuldigd, dan krijgt men 360 en dat is juist het aantal graden van de hoek, die het hele platte vlak omvat. De pythagoreërs kenden voor het getal 36 nog meer merkwaardige eigenschappen, maar we zullen het bij de hier genoemde laten.